数列极限的四则运算

条件

设 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 是收敛数列， $a_{n} \to A$ ， $b_{n} \to B$ （按 ANL-DEF-004）。

下列四则运算极限均成立：

加法： $n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = A + B$ 。
减法： $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = A - B$ 。
乘法： $n \to \infty lim (a_{n} \cdot b_{n}) = A \cdot B$ 。
除法：若 $B \neq = 0$ ，则从某项起 $b_{n} \neq = 0$ ，且 $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{A}{B}$ 。

特别地，对常数 $c$ ： $lim c \cdot a_{n} = c \cdot A$ 。

收敛 = ” $a_{n}$ 几乎等于 $A$ ， $b_{n}$ 几乎等于 $B$ ”。 “几乎相等”经过四则运算的扰动，仍然”几乎相等”于运算结果 $A ⋆ B$ ——只要扰动不被运算放大失控。

证明（乘法）：要证 $∣ a_{n} b_{n} - A B ∣ \to 0$ 。

关键拆分：

a_{n} b_{n} - A B = a_{n} b_{n} - a_{n} B + a_{n} B - A B = a_{n} (b_{n} - B) + B (a_{n} - A) .

由 ANL-THM-002， ${a_{n}}$ 有界，存在 $M > 0 : ∣ a_{n} ∣ \leq M$ 。任给 $ε > 0$ ：

由 $a_{n} \to A$ ， $\exists N_{1}, \forall n > N_{1} : ∣ a_{n} - A ∣ < ε / (2∣ B ∣ + 1)$ ；
由 $b_{n} \to B$ ， $\exists N_{2}, \forall n > N_{2} : ∣ b_{n} - B ∣ < ε / (2 M)$ 。

取 $N = max {N_{1}, N_{2}}$ ，对任意 $n > N$ ：

∣ a_{n} b_{n} - A B ∣ \leq ∣ a_{n} ∣∣ b_{n} - B ∣ + ∣ B ∣∣ a_{n} - A ∣ < M \cdot \frac{ε}{2 M} + ∣ B ∣ \cdot \frac{ε}{2∣ B ∣ + 1} < ε .

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加法 / 减法证明从略（更直接，使用三角不等式）。除法 = 乘法 × 倒数，需先证 $1/ b_{n} \to 1/ B$ （关键： $∣ b_{n} ∣ \geq ∣ B ∣/2$ 从某项起，由保号性 ANL-THM-003 应用于 $∣ b_{n} ∣$ ）。

✗ 滥用四则运算于发散数列。反例： $a_{n} = n, b_{n} = - n$ 都发散，但 $a_{n} + b_{n} = 0 \to 0$ 收敛。四则运算定理要求两数列都先收敛，否则不能直接套用。
✗ 乘法定理推广到”项数随 $n$ 变的求和 / 求积”。四则运算只对有限个、固定数量的项封闭。反例： $lim_{n} n 个 (1/ n + 1/ n + \dots + 1/ n) = lim_{n} 1 = 1 \neq = 0 = 逐项极限 0 + 0 + \dots$ 。当项数 $n$ 本身是变量时，“逐项取极限再加”与”先加再取极限”不可交换。
✗ 0 / 0 直接套用除法。 $a_{n} / b_{n}$ 当 $A = B = 0$ 时不定型，必须先化简（如 L’Hôpital、夹逼、变量代换）。
✗ 忽视除法中的 ” $B \neq = 0$ 才有从某项起 $b_{n} \neq = 0$ ”。若 $B = 0$ ，分母可能取 0，分式无定义；本定理不覆盖 $B = 0$ 情形。

多项式极限：若 $a_{n} \to A$ ，则 $P (a_{n}) \to P (A)$ 对任何多项式 $P$ 。
有理函数极限：若 $a_{n} \to A$ 且 $Q (A) \neq = 0$ ，则 $P (a_{n}) / Q (a_{n}) \to P (A) / Q (A)$ 。

例题应用见 ANL-EX-002。