用单调有界证明 (1+1/n)^n 收敛（自然常数 e 的存在性）

题目

证明数列 $a_n=(1+1/n{)}^n$ 收敛，从而 ANL-DEF-009 中的极限存在。

分析

思路：用 ANL-THM-006 单调有界定理。两步—— 第一步证 $a_n$ 单调递增；第二步证 $a_n$ 有上界。

关键工具：二项式展开，把 $(1+1/n{)}^n$ 化为有限和的形式

$$a_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}.$$

处理后每一项都能与 $a_{n+1}$ 对应项作比较，单调性立得； 同时通项可用 $\frac{1}{k!}$ 控制，得有界性。

证明 / 解答

第 1 步：将 $a_n$ 化为可比形式。

由二项式定理：

$$a_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}=\sum _{k=0}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!n^k}.$$

把 $n^k$ 拆到分子各因子上：

$$\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}=\prod _{j=0}^{k-1}\frac{n-j}{n}=\prod _{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).$$

故

$$a_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\prod _{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).(\ast )$$

第 2 步：单调性 $a_n<a_{n+1}$。

对比 $a_n$ 与 $a_{n+1}$：

• $a_{n+1}$ 共 $n+2$ 项；$a_n$ 共 $n+1$ 项——$a_{n+1}$ 多一项（$k=n+1$，正数）。
• 对相同的 $k$（$0\le k\le n$），由 $\frac{j}{n+1}<\frac{j}{n}$ 知 $1-\frac{j}{n+1}>1-\frac{j}{n}$， 故 ${\prod }_{j=0}^{k-1}(1-\frac{j}{n+1})>{\prod }_{j=0}^{k-1}(1-\frac{j}{n})$。

两点合起来：$a_{n+1}>a_n$。$\{a_n\}$ 严格单调递增。

第 3 步：有上界 $a_n<3$。

在 $(\ast )$ 中每个因子 $1-\frac{j}{n}\in (0,1)$，故

$$a_n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}.$$

而对 $k\ge 2$：$k!=2\cdot 3\cdots k\ge 2\cdot 2\cdots 2=2^{k-1}$，故 $\frac{1}{k!}\le \frac{1}{2^{k-1}}$。

$$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k!}\le 2+\sum _{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}<2+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}=2+1=3.$$

故 $a_n<3$ 对所有 $n$ 成立。

第 4 步：应用单调有界定理。

由 ANL-THM-006，单调递增 + 有上界 $\Rightarrow$ $\{a_n\}$ 收敛。 其极限即定义 ANL-DEF-009 中的自然常数 $e$，且 $2\le e\le 3$。$■$

关键技巧

• 二项式展开 + 因式重排：把 $(1+1/n{)}^n$ 化为可与 $(1+1/(n+1){)}^{n+1}$ 逐项比较的形式，是处理”指数增长 vs 底接近 1”型不定型的标准武器。
• 逐项放大成阶乘倒数级数：用 $\sum 1/k!$ 控制 $a_n$，这同时给出更精细的估计：实际上 $e={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}$。
• 比较 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 时分两段：相同下标项的因子比较 + $a_{n+1}$ 多出的正项。

变式

• 变式 1：证明 $b_n=(1+1/n{)}^{n+1}$ 单调递减，且与 $a_n$ 同极限。这给出 $e$ 的”上下夹逼”估计：$a_n<e<b_n$。
• 变式 2：证明 ${\lim }_n(1+1/n^2{)}^n=1$（提示：用 $\ln (1+x)\le x$ 把指数表达式转到 $\sum 1/n$ 量级）。
• 变式 3：证明 ${\lim }_n(1+r/n{)}^n=e^r$ 对任意 $r\in \mathbb{R}$（提示：换元 $m=n/r$，分情况讨论 $r>0,r<0$）。