Bolzano–Weierstrass 定理的应用：证明命题

题目

利用 ANL-THM-008 Bolzano–Weierstrass 定理证明：

1. 有界 + 唯一积聚点 ⇒ 收敛：设 $\{a_n\}$ 有界且仅有一个积聚点 $L$（即 $L$ 是 $\{a_n\}$ 唯一的子列极限），则 $\{a_n\}\to L$。

2. 构造唯一积聚点反例（违反”有界”条件）：举出一个无界数列，仅有一个积聚点但不收敛。

提示

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• 第 1 题：反证。假设 $a_n\nrightarrow L$，则 $\exists {\epsilon }_0>0$ 与子列 $a_{n_k}$ 满足 $|a_{n_k}-L|\ge {\epsilon }_0$。该子列也有界，由 ANL-THM-008 它有收敛子列收敛于 $L^{\prime }$；论证 $L^{\prime }\ne L$，矛盾于”唯一积聚点”。
• 第 2 题：构造一个交替”靠近 0”和”飞向无穷”的序列。

解答

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第 1 题

证明（反证法）：假设 $\{a_n\}$ 不收敛于 $L$。

由 ANL-DEF-004 反命题：

$$\exists {\epsilon }_0>0,\forall N,\exists n>N:|a_n-L|\ge {\epsilon }_0.$$

由此可构造子列 $\{a_{n_k}\}$（取 $n_1$ 为某 $|a_n-L|\ge {\epsilon }_0$ 的最小下标，$n_2>n_1$ 满足同条件，以此类推）， 对所有 $k$ 有 $|a_{n_k}-L|\ge {\epsilon }_0$。

由 $\{a_n\}$ 有界，子列 $\{a_{n_k}\}$ 也有界。由 ANL-THM-008 Bolzano–Weierstrass 定理（应用于子列），存在它的子子列 $\{a_{n_{k_j}}\}$ 收敛，设 $a_{n_{k_j}}\to L^{\prime }$。

由 $|a_{n_k}-L|\ge {\epsilon }_0$ 对所有 $k$，子子列也满足 $|a_{n_{k_j}}-L|\ge {\epsilon }_0$。 取极限保号性：$|L^{\prime }-L|\ge {\epsilon }_0>0$，故 $L^{\prime }\ne L$。

但 $L^{\prime }$ 是 $\{a_n\}$ 的子列（即 $\{a_{n_{k_j}}\}$）的极限，按定义 $L^{\prime }$ 也是 $\{a_n\}$ 的积聚点。

这与”$L$ 是唯一积聚点”矛盾。故 $a_n\to L$。$■$

第 2 题

构造： 定义

$$a_n=\{\begin{array}{ll}0& n\text{ 为偶数}\\ n& n\text{ 为奇数}\end{array}$$

即 $\{a_n\}=1,0,3,0,5,0,7,0,\dots$。

验证：

• 唯一积聚点：偶数项子列 $a_{2k}=0\to 0$，故 $0$ 是积聚点。 奇数项子列 $a_{2k-1}=2k-1\to +\infty$，不收敛——故 $+\infty$ 不计为有限积聚点。 任何有限值 $L\ne 0$ 都不是积聚点（任何 $L$ 的小邻域只含有限多偶数项 $0$ 之外，无邻近无穷大项）。
• 无界：奇数项子列趋向 $\infty$，故无上界。
• 不收敛：$\{a_n\}$ 包含发散到 $\infty$ 的子列，依 ANL-DEF-004 不收敛于任何有限值。

故构造的 $\{a_n\}$ 满足：唯一积聚点 $0$，但不收敛。$■$

这正说明第 1 题的”有界”条件不可省略。

考察点

• ANL-THM-008 Bolzano–Weierstrass 定理的”反向”应用——把”有界 + 子列控制”转化为整体收敛
• “积聚点 = 子列极限”的等价转化
• 构造反例时”端点失效”的标准模式（无界 / 不闭）

备注

积聚点严格定义：

$L$ 是 $\{a_n\}$ 的积聚点（accumulation point），若存在 $\{a_n\}$ 的子列 $\{a_{n_k}\}$ 使 $a_{n_k}\to L$。

与”极限”的区别：

• 极限：整个数列趋向单一值。
• 积聚点：某个子列趋向某值——一个数列可有多个积聚点。

例子：$\{(-1{)}^n\}$ 的积聚点集合 $=\{-1,1\}$（两个）； $\{\sin n\}$ 的积聚点集合 $=[-1,1]$（连续区间，需用 Weyl 等分布定理）。

第 1 题的命题可总结为口诀：“有界 + 积聚点唯一 ⇔ 收敛”——是 B–W 定理在收敛性判定中最常用的形式。