Bolzano–Weierstrass 定理（致密性定理）

条件

设 $\{a_n\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的有界数列（按 ANL-DEF-005）。

结论

$\{a_n\}$ 必存在收敛子列（按 ANL-DEF-006、ANL-DEF-004）。即：

$$\exists \{n_k\}\uparrow ,\exists L\in \mathbb{R}:a_{n_k}\to L.$$

几何/直觉理解

把 $\{a_n\}$ 的所有项想象成”无穷个点丢进一个有限区间”。 有限区间装无穷点 → 必然有”密集成团”的地方 → 至少存在一个积聚点。 从该积聚点的任意小邻域里，按时间顺序取出无穷个项，就构成一个收敛子列。

这一定理把”有限容器装无穷物”的几何直观，化为分析语言中”必有子列收敛”的精确论断—— 是实数完备性在子列层面的体现。

证明（区间二分法）

证明： 由 $\{a_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使全部项落于 $[-M,M]=:I_0$。

步骤 1：构造嵌套区间序列。 把 $I_0$ 二等分，至少有一个子区间含 $\{a_n\}$ 的无穷多项； 取该子区间为 $I_1$。继续对 $I_1$ 二等分，取含无穷多项的子区间为 $I_2$。如此得嵌套区间列：

$$I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq \cdots ,|I_k|=\frac{2M}{2^k}\to 0,$$

且每个 $I_k$ 含 $\{a_n\}$ 的无穷多项。

步骤 2：抽取子列。 在 $I_1$ 中任取 $a_n$ 的某项 $a_{n_1}$； 在 $I_2$ 中取下标 $n_2>n_1$ 的某项 $a_{n_2}$（无穷多项保证可做到）； 依此类推得子列 $\{a_{n_k}\}$，$a_{n_k}\in I_k$。

步骤 3：极限存在。 由 ANL-AX-001，${\bigcap }_k{I}_k$ 非空（嵌套闭区间套定理）； 设 $L\in {\bigcap }_k{I}_k$。对任意 $\epsilon >0$，取 $K$ 使 $|I_K|<\epsilon$，则 $\forall k\ge K$：

$$|a_{n_k}-L|\le |I_k|\le |I_K|<\epsilon .$$

依 ANL-DEF-004，$a_{n_k}\to L$。$■$

常见错误

• ✗ 误以为定理给出所有收敛子列。事实只断言存在至少一个； $\{(-1{)}^n\}$ 有偶/奇两族收敛子列，分别极限 $1,-1$，定理保证至少一族存在。
• ✗ 忽视有界条件。$\{a_n=n\}$ 无界，不存在收敛子列（任何子列趋于 $\infty$）。
• ✗ 在 $\mathbb{Q}$ 中套用。$\mathbb{Q}$ 不完备，嵌套区间套定理失效——例如 $\sqrt{2}$ 的有理截断序列在 $\mathbb{Q}$ 中无收敛子列。
• ✗ 把”积聚点”和”极限”混为一谈。$\{(-1{)}^n\}$ 有积聚点 $\pm 1$，但本身不收敛；定理给出子列收敛于积聚点。

推论与应用

• 致密性原理：$\mathbb{R}$ 中任何有界无穷集合必有积聚点（与本定理互推等价）。
• 用于 ANL-THM-007 Cauchy 收敛准则的"$\Leftarrow$"方向：先由有界 + B-W 抽收敛子列。
• 推广到 ${\mathbb{R}}^n$、紧致度量空间。

链接

• 等价物（实数完备性的六大等价表述之一）：
  • ANL-AX-001 确界原理
  • ANL-THM-006 单调有界定理
  • ANL-THM-007 Cauchy 收敛准则
  • 区间套定理
  • 有限覆盖定理（Heine–Borel）
  • 致密性定理（本条目）

跨专业应用

• 泛函分析：本定理推广为”紧集 ⇔ 列紧 + 闭”，是 Banach / Hilbert 空间紧性理论的基石
• 动力系统：有界轨道必有积聚点 → 极限集 / 不变测度的存在性论证