数列与子列收敛性的综合判断

题目

判断下列命题真假，给出证明或反例：

1. 真命题候选：若 $\{a_n\}$ 的所有奇数项子列 $\{a_{2k-1}\}$ 和偶数项子列 $\{a_{2k}\}$ 都收敛于同一极限 $L$，则 $\{a_n\}\to L$。

2. 真命题候选：若 $\{a_n\}$ 的某个收敛子列 $\{a_{n_k}\}\to L$，则 $\{a_n\}\to L$。

3. 真命题候选：若 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，则 $\{|a_n|\}\to |L|$。

4. 真命题候选：若 $\{|a_n|\}\to |L|$ 且 $L\ne 0$，则 $\{a_n\}\to L$。

提示

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• 第 1 题：用 ε-N。两个子列同收敛于 $L$ ⇒ 各自存在 $N_1,N_2$，对原数列取 $N=\max \{N_1^{\prime },N_2^{\prime }\}$ 即可（注意子列下标到原下标的换算）。
• 第 2 题：考虑反例 $\{(-1{)}^n\}$ 的偶数项子列收敛于 $1$，但原数列不收敛。
• 第 3 题：用三角不等式 $||a|-|b||\le |a-b|$。
• 第 4 题：考虑反例 $a_n=(-1{)}^n$。$|a_n|=1\to 1$，但 $a_n$ 不收敛。

解答

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第 1 题：✅ 真

证明： 任给 $\epsilon >0$。

由 $a_{2k-1}\to L$：$\exists K_1,\forall k>K_1:|a_{2k-1}-L|<\epsilon$。 对原下标 $n=2k-1$，$k>K_1⟺n>2K_1-1$。

由 $a_{2k}\to L$：$\exists K_2,\forall k>K_2:|a_{2k}-L|<\epsilon$。 对原下标 $n=2k$，$k>K_2⟺n>2K_2$。

取 $N=\max \{2K_1-1,2K_2\}$。$\forall n>N$，无论 $n$ 为奇为偶，都满足上述某个条件，故 $|a_n-L|<\epsilon$。

依 ANL-DEF-004，$a_n\to L$。$■$

推广：把 $\{a_n\}$ 划分为有限多个互不相交且并集覆盖的子列，若每个子列都收敛于同一 $L$，则原数列 $\to L$。

第 2 题：❌ 假

反例：$a_n=(-1{)}^n$。

• 偶数项子列 $a_{2k}=1\to 1$，是收敛子列。
• 但原数列 $\{(-1{)}^n\}$ 在 $\pm 1$ 间振荡，不收敛。

子列收敛不能蕴含原数列收敛——除非”所有”子列都收敛于同一极限（这正是 ANL-PROB-007 第 1 题）。

第 3 题：✅ 真

证明： 任给 $\epsilon >0$。

由 $a_n\to L$：$\exists N,\forall n>N:|a_n-L|<\epsilon$。

由”逆三角不等式” $||a_n|-|L||\le |a_n-L|<\epsilon$。

故 $|a_n|\to |L|$。$■$

逆三角不等式：$||a|-|b||\le |a-b|$。证明：$|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|$，故 $|a|-|b|\le |a-b|$；对换 $a,b$ 得 $|b|-|a|\le |a-b|$。

第 4 题：❌ 假

反例：$a_n=(-1{)}^n$。

• $|a_n|=1\to 1=|L|$，其中 $L=1$（或 $-1$，怎么取都构成反例）。
• 但 $\{a_n\}$ 不收敛。

第 3 题反向不成立——绝对值消除了符号信息。

何时反向成立？需要附加条件：$\{a_n\}$ 从某项起符号一致（全正或全负），此时 $|a_n|\to c⟹a_n\to \pm c$（符号由附加条件确定）。

考察点

• ANL-DEF-006 子列概念的精确使用
• ANL-DEF-004 ε-N 定义的正向证明 + 反向构造反例
• 收敛性命题的”必要 vs 充分”分析

备注

四题构成一组对照：

#	命题	真假	关键
1	奇/偶子列同极限 ⇒ 原数列同极限	✅	两子列完全覆盖原数列
2	某收敛子列 ⇒ 原数列收敛	❌	单个子列不足以约束整体
3	$a_n\to L\Rightarrow \Vert a_n\Vert \to \Vert L\Vert$	✅	逆三角不等式
4	$\Vert a_n\Vert \to \Vert L\Vert \Rightarrow a_n\to L$	❌	绝对值丢失符号信息

记忆要点：

• “完全覆盖”型条件下，子列性质可上传给整体（# 1）
• “单一”子列只能给出整体的必要条件（# 2）
• 连续函数（如 $|\cdot |$）保收敛是单向的（# 3 → # 4 反向需附加条件）