子列

定义陈述

设 $\{a_n\}$ 是数列。若严格递增的正整数列 $n_1<n_2<n_3<\cdots$，则称

$$\{a_{n_k}{\}}_{k\ge 1}=a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots$$

是 $\{a_n\}$ 的一个子列。

与相近概念的区别

概念	关键差别
子集 $\{a_n:n\in S\}$	不计顺序、不计重复
子列 $\{a_{n_k}\}$	保持原顺序，下标严格递增
截断 $\{a_n{\}}_{n\ge N_0}$	子列的特例（取 $n_k=N_0+k-1$）

直觉理解

把数列想成一行小格子 $a_1,a_2,a_3,\dots$。子列就是从中按从左到右的顺序抽出无穷多个格子， 组成一行新的格子，但绝不允许往回挑。

例：$\{(-1{)}^n\}$ 的偶数项子列 $\{a_{2k}\}$ = $1,1,1,\dots$；奇数项子列 $\{a_{2k-1}\}$ = $-1,-1,-1,\dots$。 一个不收敛的数列，其子列仍可能收敛——这是 Bolzano–Weierstrass 定理 ANL-THM-008 的核心利用点。

关键性质

• 若 $a_n\to L$，则任何子列 $a_{n_k}\to L$（极限的”子列继承性”）。
• 反之不真：子列收敛不蕴含原数列收敛，除非所有子列都收敛于同一极限。
• 用于证明发散的常用手法：找出两个子列分别收敛于不同极限。

链接

• 用于定理：ANL-THM-008 Bolzano–Weierstrass 定理、ANL-THM-007 Cauchy 收敛准则证明