数列极限的唯一性

条件

设 $\{a_n\}$ 是实数列，假设 $a_n\to L$ 且 $a_n\to L^{\prime }$（按 ANL-DEF-004）。

结论

$L=L^{\prime }$。即收敛数列的极限唯一。

直觉理解

如果数列同时”贴近 $L$“和”贴近 $L^{\prime }$“——可一根无穷数列没法同时贴近两个不同的点。 形式化：取 $\epsilon$ 小于两点距离的一半，从某项起所有项必须同时落入两个不相交的小邻域，矛盾。

直观图像：把 $\epsilon$ 看作”分辨率”。$L\ne L^{\prime }$ 时存在足够小的 $\epsilon$ 把它们分开，而极限要求”几乎全部项落入 $L$ 邻域”——同时也要求”几乎全部项落入 $L^{\prime }$ 邻域”，不可能。

证明

证明： 反证。设 $L\ne L^{\prime }$，记 ${\epsilon }_0=|L-L^{\prime }|/2>0$。

由 $a_n\to L$，存在 $N_1$ 使 $\forall n>N_1:|a_n-L|<{\epsilon }_0$。 由 $a_n\to L^{\prime }$，存在 $N_2$ 使 $\forall n>N_2:|a_n-L^{\prime }|<{\epsilon }_0$。

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，对任意 $n>N$：

$$|L-L^{\prime }|\le |L-a_n|+|a_n-L^{\prime }|<{\epsilon }_0+{\epsilon }_0=|L-L^{\prime }|.$$

得 $|L-L^{\prime }|<|L-L^{\prime }|$，矛盾。故 $L=L^{\prime }$。$■$

常见错误

• ✗ 把”极限唯一”等同于”序列只趋向一个值”——前者是结论，后者是定义本身。 唯一性需要证明，因为定义只说”存在 $L$ 使 …”，不直接排除多个 $L$。
• ✗ 推广到”序列任何积聚点也唯一”——错。$\{(-1{)}^n\}$ 有两个积聚点 $\pm 1$，但既然没有极限就不违反唯一性。 唯一性的前提是收敛。

链接

• 用于定理：ANL-THM-002 收敛数列必有界（论证依赖唯一性）
• 推广至函数极限、度量空间极限等场景