收敛数列必有界

条件

设 $\{a_n\}$ 是收敛数列，即 $\exists L\in \mathbb{R}:a_n\to L$（按 ANL-DEF-004）。

结论

$\{a_n\}$ 有界（按 ANL-DEF-005），即 $\exists M>0,\forall n:|a_n|\le M$。

直觉理解

收敛 ⇒“从某项起所有项都贴近 $L$” ⇒ 这些贴近项有界（被 $|L|+1$ 类的常数夹住）。 之前的有限多项个数有限，可单独取上界。两段合并即得整体上界。

逆命题不成立：有界 $\nRightarrow$ 收敛——反例 $a_n=(-1{)}^n$ 有界但发散。 即”收敛 → 有界”是单向蕴含，不可逆。

证明

证明： 设 $a_n\to L$。在收敛定义中取 $\epsilon =1$： 存在 $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使 $\forall n>N:|a_n-L|<1$， 故 $|a_n|\le |a_n-L|+|L|<1+|L|$。

对前 $N$ 项，取 $M_0=\max \{|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_N|\}$（有限个数的最大值，存在）。

令 $M=\max \{M_0,1+|L|\}$。则对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$：

• 若 $n\le N$：$|a_n|\le M_0\le M$；
• 若 $n>N$：$|a_n|<1+|L|\le M$。

故 $\{a_n\}$ 有界。$■$

常见错误

• ✗ 误信”有界 ⇒ 收敛”。反例：$\{(-1{)}^n\}$ 有界但发散。 有界仅是收敛的必要非充分条件。
• ✗ 在证明中省略”前 $N$ 项”的处理。 ε-N 定义只控制 $n>N$ 的项；前 $N$ 项是有限多项，必须显式取 max 兜底。
• ✗ 把”有界”当作”被定值约束”，写成"$|a_n|\le L$"。 收敛于 $L$ 不蕴含 $|a_n|\le |L|$——上下波动期间项的绝对值可大于 $|L|$。

推论

• 等价表述：发散数列有可能无界，但有界数列也未必收敛——四种组合（收敛/发散 × 有界/无界）中只有”收敛 + 无界”被本定理排除。
• 用于反证”若 $\{a_n\}$ 无界则 $\{a_n\}$ 发散”。

链接

• 前置：ANL-DEF-004、ANL-DEF-005
• 推广：单调有界定理 ANL-THM-006 反向加强（单调 + 有界 ⇒ 收敛）