用 Heine 归结原则证明 lim sin(1/x) 不存在

题目

证明 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin (1/x)$ 不存在。

分析

直接用 ε-δ 反推太麻烦——需要构造对所有 $\delta >0$ 都失效的反例。 更简洁的路径：ANL-THM-012 Heine 等价定理的反向用法。

核心思路：找两个数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 都 $\to 0$（且都 $\ne 0$）， 但 $\sin (1/x_n)$ 与 $\sin (1/y_n)$ 收敛于不同的极限。

构造关键：让 $1/x_n$ 落在 $\sin$ 的”同一相位”，使 $\sin (1/x_n)$ 全是同一值。 取 $1/x_n=n\pi$（$\sin =0$ 的零点）和 $1/y_n=(4n+1)\pi /2$（$\sin =1$ 的最大值点）即可。

证明

证明： 取两个数列：

$$x_n=\frac{1}{n\pi },y_n=\frac{2}{(4n+1)\pi },n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

第 1 步：两数列都 $\to 0$ 且 $\ne 0$。

$x_n=1/(n\pi )>0$ 且 $x_n\to 0$（因 $1/n\to 0$）。 $y_n=2/((4n+1)\pi )>0$ 且 $y_n\to 0$。 均满足 Heine 条件。

第 2 步：计算两数列的像。

$$\sin (1/x_n)=\sin (n\pi )=0(\forall n)⟹\underset{n}{\lim }\sin (1/x_n)=0.$$ $$\sin (1/y_n)=\sin \left(\frac{(4n+1)\pi }{2}\right)=\sin \left(2n\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1.$$

故 ${\lim }_n\sin (1/y_n)=1$。

第 3 步：反向应用 Heine。

假设 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin (1/x)=L$ 存在。 由 ANL-THM-012 Heine 等价：

• $x_n\to 0,x_n\ne 0⟹\sin (1/x_n)\to L$，故 $L=0$。
• $y_n\to 0,y_n\ne 0⟹\sin (1/y_n)\to L$，故 $L=1$。

得 $0=L=1$，矛盾。

故 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin (1/x)$ 不存在。$■$

关键技巧

• “双数列反证”模板：用 Heine 反向证明极限不存在的标准武器。 关键是构造的两个数列必须都满足 $\to x_0$ 且 $\ne x_0$，但像列收敛到不同值。
• 零点 vs 极值点：振荡函数的”最便利反例对”——零点列让函数值恒为 0，极值点列让函数值恒为 ±1。
• 可推广到其他振荡极限：$\cos (1/x),\sin (1/x^2),\tan (1/x)$ 等当 $x\to 0$ 时极限不存在，证明结构完全平行。

变式

• 变式 1：证明 $\underset{x\to 0}{\lim }\cos (1/x)$ 不存在。 提示：取 $x_n=1/(2n\pi ),y_n=1/((2n+1)\pi )$。
• 变式 2：证明 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin x$ 不存在。 提示：取 $x_n=n\pi ,y_n=2n\pi +\pi /2$（注意此处 $\to +\infty$ 不是 $\to x_0$，需用 ${\lim }_{x\to \infty }$ 的 Heine 版本）。
• 变式 3：分析 ${\lim }_{x\to 0}x\sin (1/x)$。提示：与本题对比——这次极限存在为 $0$（用夹逼 $|x\sin (1/x)|\le |x|$）。说明”局部振荡 + 衰减”vs”局部振荡 + 不衰减”的核心差别。