函数极限的 Heine 等价定理（完整版）

条件与结论

设 $f$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。下列两条严格等价：

1. ε-δ 极限（ANL-DEF-008）：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$。

2. Heine 数列刻画（ANL-DEF-010）：对任何满足

   $$x_n\to x_0\text{且}{x}_n\ne x_0(\forall n)$$

   的数列 $\{x_n\}$，都有 $f(x_n)\to L$（按 ANL-DEF-004）。

ANL-DEF-010 中已陈述此原则；本定理给出完整证明及标准应用。

直觉理解

ε-δ 视角：”$x$ 连续地接近 $x_0$ 时函数行为”。 Heine 视角：“任何离散路径接近 $x_0$ 时函数行为”。

两条路径的等价性 = “连续逼近的全体行为，被任意离散路径完全采样”。

形象地说：把"$x\to x_0$"想成一束所有接近 $x_0$ 的轨迹。 ε-δ 直接刻画整束的极限性质； Heine 把这束分解成无穷条数列轨迹，要求每条都到达同一终点 $L$。 这两种描述对应于”同一个连续过程”的两种数学语言。

完整证明

($1\Rightarrow 2$)

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$，$\{x_n\}$ 满足 $x_n\to x_0,x_n\ne x_0$。

任给 $\epsilon >0$。

由 (1)：$\exists \delta >0,\forall x:0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon$。

由 $x_n\to x_0$ 且 $x_n\ne x_0$：$\exists N,\forall n>N:0<|x_n-x_0|<\delta$。

故 $\forall n>N:|f(x_n)-L|<\epsilon$，即 $f(x_n)\to L$。$■$

($2\Rightarrow 1$)（反证）

设 (1) 不成立。则

$$\exists {\epsilon }_0>0,\forall \delta >0,\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-x_0|<\delta \text{ 但 }|f(x_{\delta })-L|\ge {\epsilon }_0.$$

对每 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，取 $\delta =1/n$，得到 $x_n$ 满足 $0<|x_n-x_0|<1/n$ 但 $|f(x_n)-L|\ge {\epsilon }_0$。

构造完毕的 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\to x_0$（由 $|x_n-x_0|<1/n\to 0$）且 $x_n\ne x_0$。 但 $f(x_n)\nrightarrow L$（因为 $|f(x_n)-L|\ge {\epsilon }_0$ 对所有 $n$ 成立），与 (2) 矛盾。$■$

用 Heine 证明极限不存在的标准套路

步骤：

1. 选两个不同的数列 $\{x_n\},\{y_n\}$，都 $\to x_0$（且都 $\ne x_0$）。
2. 计算 $f(x_n)$ 和 $f(y_n)$，证明它们收敛于不同的极限 $L_1\ne L_2$。
3. 由 Heine 反向：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ 存在，则 $L=L_1$ 也 $L=L_2$，矛盾。

例：${\lim }_{x\to 0^{+}}\sin (1/x)$ 不存在

• 取 $x_n=\frac{1}{n\pi }\to 0^{+}$：$f(x_n)=\sin (n\pi )=0\to 0$
• 取 $y_n=\frac{2}{(4n+1)\pi }\to 0^{+}$：$f(y_n)=\sin (\frac{(4n+1)\pi }{2})=1\to 1$

两个数列像收敛到不同极限 ⇒ 原极限不存在。

常见错误

• ✗ 用单一收敛数列证明极限存在。 这只是必要条件。极限存在要求所有满足条件的数列像都收敛到同一 $L$。
• ✗ 遗漏 $x_n\ne x_0$ 条件。 若允许 $x_n=x_0$，等价定理对应的不再是极限而是”序列连续性”。
• ✗ 把数列像 $f(x_n)$ 与 $f$ 的”在 $x_n$ 处的取值”混淆。 Heine 关心的是像数列作为整体的极限，与每个 $f(x_n)$ 的具体形态无关。

链接

• 前置：ANL-DEF-008、ANL-DEF-010、ANL-DEF-004
• 应用例题：ANL-EX-004 用 Heine 证明极限不存在

跨专业应用

• 实变函数：极限的可数刻画——用收敛数列的可数族刻画函数行为，是测度论的初阶基础
• 拓扑学：序列连续与拓扑连续的等价性（在第一可数空间中成立）