复合函数极限：换元与连续性的合法应用

题目

利用 ANL-THM-011 复合函数极限定理，求下列极限或判断其合法性：

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (2x)}{2x}$（已知 ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$）。

2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{x^2}$。

3. 判断合法性：以下”换元法”是否正确？

   $$\underset{x\to 0}{\lim }f(g(x))\stackrel{?}{=}\underset{u\to 0}{\lim }f(u),$$

   其中 $g(x)=0$ 恒等于 $0$，$f(u)=\{\begin{array}{ll}1& u\ne 0\\ 5& u=0\end{array}$。

分析

第 1、2 题：标准的”换元 + 已知极限”应用。 关键是验证 ANL-THM-011 的条件 (a) 或 (b)。

• 第 1 题：$g(x)=2x$，当 $x\to 0$ 时 $g(x)\to 0$，且 $g(x)\ne 0$ 在 $x\ne 0$ 时恒成立——条件 (b) 满足。
• 第 2 题：$g(x)=x^2$，同理 $g(x)\to 0$ 且 $g(x)\ne 0$（$x\ne 0$ 时）——条件 (b) 满足。

第 3 题：检验换元法的边界情形——这是 ANL-THM-011 设计条件 (a)/(b) 要排除的反例。

证明 / 解答

第 1 题

解： 令 $u=g(x)=2x$。

• 当 $x\to 0$ 时 $u\to 0$。
• $u=2x\ne 0$ 当 $x\ne 0$（条件 (b) 满足）。
• 已知 ${\lim }_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$。

由 ANL-THM-011：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (2x)}{2x}=\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1.$$

$■$

第 2 题

解： 令 $u=g(x)=x^2$。

• 当 $x\to 0$ 时 $u\to 0^{+}$（注意 $x^2\ge 0$，从右侧逼近）。
• $u=x^2\ne 0$ 当 $x\ne 0$（条件 (b) 满足）。

由 ANL-THM-011：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{x^2}=\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1.$$

（由于 $\sin u/u$ 在 $u=0$ 附近双侧极限都为 $1$，单侧 $u\to 0^{+}$ 同值。） $■$

第 3 题

解：判断不合法。

验证 ANL-THM-011 条件：

• 条件 1：${\lim }_{x\to 0}g(x)=0$，成立（$g$ 恒为 $0$）。
• 条件 2：${\lim }_{u\to 0}f(u)=1$，成立（$u\ne 0$ 时 $f(u)=1$）。
• 条件 (a)：$f$ 在 $u_0=0$ 是否连续？$f(0)=5\ne 1={\lim }_{u\to 0}f(u)$，不连续。
• 条件 (b)：是否在 $x_0=0$ 的某去心邻域内 $g(x)\ne 0$？$g\equiv 0$，永不成立。

两个条件都不满足 ⇒ 不能直接套换元法。

实际计算：$f(g(x))=f(0)=5$ 恒成立，故 ${\lim }_{x\to 0}f(g(x))=5$。 而 ${\lim }_{u\to 0}f(u)=1$。

由此 $5\ne 1$——这正是 ANL-THM-011 用条件 (a)/(b) 排除的”病态”换元情形。

$■$

关键技巧

• 换元前必查 (a)/(b)：条件 (a) 是 $f$ 在 $u_0$ 处连续；条件 (b) 是 $g$ 在 $x_0$ 去心邻域内不取 $u_0$。绝大多数初等问题中 (a) 成立（如 $\sin ,\cos ,e^x,\ln$ 处处连续），可”无脑”换元。
• 第 3 题型常见于人为构造的 piecewise 函数：实际计算中遇到这类函数（如 $f(0)$ 单独定义为异常值）就要小心。
• 复合极限 ≠ 极限值的复合：本节核心警告——复合函数的极限与”先求内函数极限再代入”不总是相等。

变式

• 变式 1：求 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sin (\pi x)}{x-1}$（提示：换元 $u=x-1$，$\sin (\pi x)=\sin (\pi +\pi u)=-\sin (\pi u)$）。
• 变式 2：求 $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}^{x^2}$（提示：换元 $u=x^2\to \infty$，应用 $(1+1/u{)}^u\to e$）。
• 变式 3：判断 ${\lim }_{x\to 0}f(g(x))={\lim }_{u\to 0}f(u)$ 在 $g(x)=x\sin (1/x),f(u)=u^2/|u|$（$u\ne 0$）, $f(0)=0$ 时是否合法？