复合函数的极限（变量代换定理）

条件

设：

1. ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$（按 ANL-DEF-008）；
2. ${\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$；
3. 下列条件之一成立：
   • (a) $f$ 在 $u_0$ 处连续（按 ANL-DEF-012，即 $A=f(u_0)$）；或
   • (b) 存在 $x_0$ 的某去心邻域，使 $g(x)\ne u_0$ 在该邻域内成立。

结论

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=A$。

几何/直觉理解

复合函数 $f\circ g$ 把"$x\to x_0$"通过中间桥 $g$ 转化为"$u\to u_0$"， 再由 $f$ 转化为最终值 $A$。

为什么需要条件 (a) 或 (b)：

中间桥可能”恰好踩在 $u_0$ 上”——若 $g(x)=u_0$ 对无穷多 $x$ 成立，那么 $f(g(x))=f(u_0)$ 由 $f$ 在 $u_0$ 的取值决定，而非极限决定。 此时 $f(u_0)$ 与 ${\lim }_{u\to u_0}f(u)$ 可能不等。

反例（违反 (a) 与 (b) 的双重失败）：

$$g(x)=0\text{（恒等于 }0\text{）},f(u)=\{\begin{array}{ll}1& u\ne 0\\ 5& u=0\end{array}.$$

那么 ${\lim }_{u\to 0}f(u)=1$，但 $f(g(x))=f(0)=5$ 恒成立，故 ${\lim }_{x\to 0}f(g(x))=5\ne 1$。

加上条件 (a)（$f$ 在 $u_0$ 连续，即 $f(u_0)={\lim }_{u\to u_0}f$）或 (b)（$g(x)\ne u_0$）即可排除此反例。

证明（条件 (b)）

证明： 任给 $\epsilon >0$。

由 $f\to A$（条件 2）：$\exists \eta >0,\forall u:0<|u-u_0|<\eta ⟹|f(u)-A|<\epsilon$。

由 $g\to u_0$（条件 1）：$\exists {\delta }_1>0,\forall x:0<|x-x_0|<{\delta }_1⟹|g(x)-u_0|<\eta$。

由条件 (b)：$\exists {\delta }_2>0,\forall x:0<|x-x_0|<{\delta }_2⟹g(x)\ne u_0$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$。对 $0<|x-x_0|<\delta$：

• $g(x)\ne u_0$（由 ${\delta }_2$）
• $|g(x)-u_0|<\eta$（由 ${\delta }_1$）

合起来：$0<|g(x)-u_0|<\eta$，故 $|f(g(x))-A|<\epsilon$。$■$

条件 (a) 的证明类似：连续性允许 $g(x)=u_0$，因为此时 $f(g(x))=f(u_0)=A$ 直接成立。

常见错误

• ✗ 遗漏条件 (a)/(b)。 最经典的”无害”应用：求 ${\lim }_{x\to 0}\sin (1-\cos x)$。 令 $u=1-\cos x\to 0$，$f(u)=\sin u$ 在 $0$ 处连续 ⇒ $\sin u\to \sin 0=0$。 这里 (a) 成立——$\sin$ 处处连续——所以可以”无脑”换元。 但若 $f$ 在 $u_0$ 不连续，必须验证 (b)。
• ✗ 认为 $\lim g=u_0$ 自动蕴含”$g(x)$ 经常等于 $u_0$”。 反例：$g(x)=x$ 于 $x_0=0$，$g(x)=0⟺x=0$，去心邻域内 $g\ne u_0$，(b) 成立。 反过来，常数函数 $g\equiv u_0$ 处处取 $u_0$，(b) 失败——只能靠 (a) 救场。

推论

• 变量代换法的合法性：求 ${\lim }_{x\to a}F(\varphi (x))$ 时，若 $\varphi$ 单射或 $F$ 在 $\varphi (a)$ 连续，可放心换元 $u=\varphi (x)$。
• L’Hôpital 法则的前置条件之一：要求被代换的中间函数满足本定理的 (a) 或 (b)。
• 连续函数的复合保连续：$f,g$ 都连续 ⇒ $f\circ g$ 连续（条件 (a) 自动满足）。

链接

• 前置：ANL-DEF-008、ANL-DEF-012
• 应用：ANL-THM-009 与 ANL-EX-005 复合函数连续例题
• 推广：度量空间、拓扑空间中的连续映射复合

跨专业应用

• 数值分析：迭代序列 $x_{n+1}=g(x_n)$ 的极限分析常用复合函数极限链式定理
• 物理：相空间变量代换（如球坐标 ↔ 笛卡尔坐标）下的极限传递性