一致连续判定（综合练习）

题目

判断下列函数在指定区间上是否一致连续，给出严格证明或反例：

1. $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上。
2. $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty )$ 上。
3. $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上。
4. $f(x)=x\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上。

提示

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• 第 1 题：$\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调连续，但定义域无界——直觉上 $\sqrt{x}$ 增长很慢（导数 $\to 0$），可能一致连续。试用 $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\le \sqrt{|a-b|}$。
• 第 2 题：在无界域上”局部斜率”$|2x|$ 无界——典型一致连续反例。构造 $x_n,y_n\to \infty$ 使 $|x_n-y_n|\to 0$ 但 $|x_n^2-y_n^2|\nrightarrow 0$。
• 第 3 题：定义域 $(0,1]$ 不闭——端点 $0$ 处 $f\to \infty$，ANL-THM-015 Cantor 不适用。构造 $x_n,y_n\to 0^{+}$ 反例。
• 第 4 题：$x\sin x$ 在大 $x$ 时局部斜率 $|\sin x+x\cos x|$ 包含 $x\cos x$，无界——预期非一致连续。

解答

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第 1 题：$\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 一致连续

证明（用代数不等式）：对 $a,b\ge 0$，有

$$|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\le \sqrt{|a-b|}.$$

（证：不妨设 $a\ge b$，$|\sqrt{a}-\sqrt{b}{|}^2=a-2\sqrt{ab}+b\le a-2b+b=a-b$，因 $\sqrt{ab}\ge b$。）

任给 $\epsilon >0$，取 $\delta ={\epsilon }^2$。对任意 $x_1,x_2\in [0,+\infty ),|x_1-x_2|<\delta$：

$$|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|\le \sqrt{|x_1-x_2|}<\sqrt{\delta }=\epsilon .$$

故 $\sqrt{x}$ 一致连续。$■$

关键观察：尽管定义域无界，但 $\sqrt{x}$ 增长速度衰减（${\sqrt{x}}^{\prime }=1/(2\sqrt{x})\to 0$），故”局部抖动幅度”可被全局 $\delta$ 控制。

第 2 题：$x^2$ 在 $[0,+\infty )$ 非一致连续

证明（构造反例）：取

$$x_n=n,y_n=n+\frac{1}{n}.$$

• $|x_n-y_n|=1/n\to 0$。
• $|x_n^2-y_n^2|=|n^2-(n+1/n{)}^2|=|2+1/n^2|>2$ 对所有 $n$。

由 ANL-DEF-024 反命题：取 ${\epsilon }_0=2$，对任意 $\delta >0$ 总能找到 $n$ 使 $1/n<\delta$ 但 $|x_n^2-y_n^2|>2={\epsilon }_0$。 故 $x^2$ 在 $[0,+\infty )$ 非一致连续。$■$

第 3 题：$1/x$ 在 $(0,1]$ 非一致连续

证明（构造反例）：取

$$x_n=\frac{1}{n},y_n=\frac{1}{n+1},n\ge 1.$$

• $x_n,y_n\in (0,1]$ 且 $|x_n-y_n|=\frac{1}{n(n+1)}\to 0$。
• $|f(x_n)-f(y_n)|=|n-(n+1)|=1$ 对所有 $n$。

取 ${\epsilon }_0=1$，反命题成立 ⇒ 非一致连续。$■$

验证 ANL-THM-015 不适用的原因：定义域 $(0,1]$ 不闭（端点 $0$ 不在内）；事实上 $f\to \infty$ 当 $x\to 0^{+}$，“局部斜率”$|f^{\prime }(x)|=1/x^2$ 在 $0$ 附近无界。

第 4 题：$x\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上非一致连续

证明（构造反例）：取

$$x_n=2n\pi +\frac{1}{n},y_n=2n\pi .$$

• $|x_n-y_n|=1/n\to 0$。
• 计算 $f(x_n)-f(y_n)=(2n\pi +1/n)\sin (1/n)-0$。 当 $n$ 大时 $\sin (1/n)\approx 1/n$，故 $$f(x_n)-f(y_n)\approx (2n\pi +1/n)\cdot 1/n=2\pi +1/n^2\to 2\pi .$$
• 严格估计：$\sin (1/n)\ge 1/n-1/(6n^3)$（Taylor 展开余项），故 $f(x_n)-f(y_n)\ge (2n\pi +1/n)(1/n-1/(6n^3))>2\pi -O(1/n^2)$。 对充分大 $n$，$|f(x_n)-f(y_n)|>\pi$。

取 ${\epsilon }_0=\pi$，反命题成立 ⇒ 非一致连续。$■$

考察点

• ANL-DEF-024 一致连续定义的正用与反用
• ANL-THM-015 Cantor 定理的前提：“闭区间”和”有界”缺一不可
• 反例构造的标准两步法：选 $x_n,y_n$ 使 $|x_n-y_n|\to 0$；证 $|f(x_n)-f(y_n)|\nrightarrow 0$

备注

四种典型情形对照：

函数	域	一致连续？	失败/成功原因
$\sqrt{x}$	$[0,+\infty )$	✅	增长率 $\to 0$
$x^2$	$[0,+\infty )$	❌	局部斜率 $\to \infty$，域无界
$1/x$	$(0,1]$	❌	$x\to 0^{+}$ 时斜率 $\to \infty$，域不闭
$x\sin x$	$\mathbb{R}$	❌	局部斜率 $\to \infty$，域无界

记忆要点：Cantor 定理 ANL-THM-015 给出充分条件（闭区间 + 连续 ⇒ 一致连续），但反例集中出现在”无界域 + 局部斜率无界”或”非闭域 + 端点处斜率爆炸”两类。