一致连续

定义陈述

设 $f : I \to R$ ， $I \subseteq R$ 为区间。

$f$ 在 $I$ 上一致连续，若：

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in I : ∣ x_{1} - x_{2} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ < ε .

普通连续：先指定一个点 $x_{0}$ ，再针对这个点找 δ。不同的点可以用不同的 δ。

一致连续：必须先定好一个 δ，然后这个 δ 要对区间上所有点对 $(x_{1}, x_{2})$ 同时生效。

区别就在于 δ 是否依赖 $x_{0}$ 。

直观图像：把 $f$ 的图像与一个宽 $δ$ 、高 $ε$ 的”水平窗口”沿 $x$ 轴拖动—— 若任何位置上窗口都能”罩住” $f$ 的相邻部分，则 $f$ 一致连续。对于陡峭程度无界增长的函数（如 $f (x) = x^{2}$ 在 $R$ 上），找不到对所有位置都够小的 $δ$ 。

✗ 认为”区间上每点连续”就等于一致连续。反例： $f (x) = 1/ x$ 在 $(0, 1)$ 上每点连续，但 $δ (ε, x_{0}) \to 0$ 当 $x_{0} \to 0^{+}$ ，故非一致连续。另一类反例：ANL-PROB-031 中 $sin (x^{2})$ 在 $R$ 上每点连续但非一致连续。
✗ 漏掉" $\forall x_{1}, x_{2}$ "，写成" $\forall x_{1} \in I, \exists x_{2}$ "。量词错位会得到几乎平凡的命题，丧失”区间整体”含义。