证明 sin(x²) 在 ℝ 上非一致连续

题目

证明函数 $f(x)=\sin (x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上每点连续，但不一致连续。

提示

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• 一致连续的反命题：存在某 ${\epsilon }_0>0$，对任意 $\delta >0$，可找出一对 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ 使 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|\ge {\epsilon }_0$。
• 直觉：在大 $x$ 附近，$\sin (x^2)$ 完成一次整周期所需的 $\Delta x$ 越来越小（因为 $x^2$ 增长越来越快），故无论 $\delta$ 取多小，总有相距 $<\delta$ 的两点跨越大段振荡。
• 构造两组同时趋于无穷的点列 $\{x_n\},\{y_n\}$，使 $|x_n-y_n|\to 0$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 不趋于 0。
• 函数值差能直接做到 $1$ 或更大的简单方法：让 $x_n^2$ 取 $2n\pi$ 类型，让 $y_n^2$ 取 $2n\pi +\pi /2$ 类型。

解答

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逐点连续：$x\mapsto x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，$\sin$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，由复合函数连续性 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上每点连续。

非一致连续：取 ${\epsilon }_0=1$。下证：对任意 $\delta >0$，可构造 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ 使 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|\ge 1$。

对 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，令

$$x_n=\sqrt{2n\pi +\pi /2},y_n=\sqrt{2n\pi }.$$

则

$$f(x_n)=\sin (2n\pi +\pi /2)=1,f(y_n)=\sin (2n\pi )=0,$$

故 $|f(x_n)-f(y_n)|=1$ 对所有 $n$ 成立。

另一方面，

$$x_n-y_n=\sqrt{2n\pi +\pi /2}-\sqrt{2n\pi }=\frac{\pi /2}{\sqrt{2n\pi +\pi /2}+\sqrt{2n\pi }}\to 0(n\to \infty ).$$

故对任意 $\delta >0$，存在 $N$ 使 $\forall n>N:|x_n-y_n|<\delta$。 取 $x_1:=x_{N+1},x_2:=y_{N+1}$ 即得反例。

依 ANL-DEF-024 的反命题，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上非一致连续。$■$

考察点

• ANL-DEF-024 一致连续定义的反命题构造
• 对实数列差的”分子有理化”技巧

备注

• 与之对比：$f$ 在任何有界闭区间 $[a,b]$ 上一致连续（Cantor 定理，待建条目）。
• 关键症结在于”无界域 + 局部斜率无界”，常出现在 $\sin (x^k)(k\ge 2)$、$x\sin x$ 等函数上。