代数基本定理（声明 + 一次因式分解推论）

条件

设 $f(x)\in \mathbb{C}[x]$ 是非常数多项式，$\mathrm{deg}f=n\ge 1$。

结论

代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）：
$f$ 在复数域 $\mathbb{C}$ 中至少有一个根。

等价形式

1. 一次因式分解：$f$ 可分解为 $n$ 个一次因式之积：

   $$f(x)=a_n\prod _{i=1}^n(x-r_i),r_i\in \mathbb{C}.$$

2. $\mathbb{C}[x]$ 中的不可约多项式只有一次式：
   任何 $\mathrm{deg}\ge 1$ 的多项式在 $\mathbb{C}[x]$ 中都完全分解为线性因子。

几何/直觉理解

一个非常数复多项式必然有根——看似显然，实则深奥。在实数域 $\mathbb{R}[x]$ 中结论不成立（$x^2+1$ 无实根），复数域的”代数封闭性”正是本定理的独到之处。

为什么在 $\mathbb{R}$ 上不成立：$\mathbb{R}$ 不是代数闭域——$x^2+1\ge 1>0$，图像不穿过 $x$ 轴。复数引入 $\mathrm{i}$ 后，“缺失的根”被补全了。

几何直觉（非严格）：将复多项式 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 看作复平面上的映射。当 $|z|\to \infty$，$|f(z)|\sim |a_n||z{|}^n\to \infty$。这迫使 $f$ 的像”包裹”原点，由拓扑的环绕数（winding number）论证，原点的原像非空——即存在 $f(r)=0$。

证明

本定理的严格证明需要复分析（Liouville 定理）或代数拓扑（基本群 + 覆叠空间），超出本知识库的范围。 下面仅给出思路概述，完整证明见 Steward & Tall《Complex Analysis》或 Fine & Rosenberger《The Fundamental Theorem of Algebra》。

思路 1（复分析）：

1. 将 $f$ 看作整函数。若 $f$ 处处非零，则 $1/f$ 也是整函数。
2. 由 $|f(z)|\to \infty$（$|z|\to \infty$）推出 $1/f$ 有界。
3. Liouville 定理：有界整函数必为常数。
4. 矛盾：$1/f$ 不是常数。故 $f$ 必有零点。

思路 2（代数拓扑）：

1. 考虑 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$。取充分大的圆周 $|z|=R$，$f$ 在该圆周上的像环绕原点 $n$ 次（$\mathrm{deg}f$ 次）。
2. 若 $f$ 处处非零，可连续收缩该圆周至一点，像的环绕数应为 $0$。
3. 矛盾。故存在零点。

$blacksquare$（此处仅声明，非严格证明）

推论

1. $\mathbb{C}[x]$ 唯一分解定理的特殊形式：每个非常数复多项式唯一分解为一次因式之积。
2. Vieta 公式的完整版：$n$ 次复多项式恰好有 $n$ 个根（计重数），系数与根的对称函数由初等对称多项式联系。
3. 实多项式的共轭根成对（ALG-THM-008）：若实系数多项式有虚根 $a+b\mathrm{i}$，则其共轭 $a-b\mathrm{i}$ 也是根，且重数相同。
4. $\mathbb{R}[x]$ 的不可约多项式分类：$\mathbb{R}[x]$ 中的不可约多项式只有一次式和判别式 $<0$ 的二次式——这是代数基本定理的实域推论。

常见错误

• ✗ 混淆”代数基本定理”与”根的个数不超过次数”（ALG-THM-005）。
  后者是纯代数的简单计数（适用于任何域），不要求域代数闭；前者断言 $\mathbb{C}$ 中存在性，是更深的分析/拓扑结论。
• ✗ 认为代数基本定理的结论在 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{R}$ 上也成立。 反例：$x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 中无根（$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$）；$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中无根。代数封闭性是一个强条件，$\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 都不满足。
• ✗ 试图用纯代数方法证明代数基本定理。
  任何纯代数证明必然循环或不足——本定理的证明必须使用分析或拓扑工具（$\mathbb{C}$ 的完备性参与论证）。这从侧面体现了代数和分析的深刻关联。

链接

• 前置：ALG-DEF-006 多项式函数与根、ALG-THM-005 根的个数不超过次数
• 推论：ALG-THM-008 实系数多项式标准分解
• 关联：ALG-DEF-004 不可约多项式（$\mathbb{C}[x]$ 中的”不可约”退化为一次式）
• 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中的类比：Eisenstein 判别法（ALG-THM-009，待建）用于判定有理系数多项式的不可约性

跨专业应用

• 信号处理：模拟滤波器的传递函数 $H(s)=N(s)/D(s)$ 的极点由 $D(s)$ 的根决定——代数基本定理保证了这些极点全部在复平面上存在，滤波器的稳定性则取决于它们是否全部位于左半平面
• 控制理论：线性时不变系统的特征多项式是复系数（或实系数）多项式，其根的分布（全部位于左半开平面）决定系统稳定性——代数基本定理保证了根的存在性，Routh–Hurwitz 判据则进一步判定其位置
• 数值代数：求解多项式全部根是数值线性代数的一个基本问题——伴随矩阵（companion matrix）法将求根化为特征值问题，而归功于代数基本定理，全部 $n$ 个根都有保证存在