多项式函数、根与重数

定义陈述

多项式函数

设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0\in K[x]$。由 $f$ 诱导的多项式函数 $\hat{f}:K\to K$ 定义为

$$\hat{f}(c):=a_n{c}^n+\cdots +a_{1}c+a_0,c\in K.$$

通常在不引起混淆时，直接以 $f(c)$ 记 $\hat{f}(c)$。

根（零点）

称 $c\in K$ 为 $f(x)$ 的一个根（或零点），若

$$f(c)=0.$$

重数

称 $c\in K$ 为 $f(x)$ 的 $k$ 重根（$k\ge 1$），若

$$(x-c{)}^k\mid f(x),(x-c{)}^{k+1}\nmid f(x),$$

其中整除意义下的因式是 $(x-c)$ 作为 $K[x]$ 中的一次不可约多项式。$k$ 称为根 $c$ 的重数（multiplicity）。

• $k=1$：单根（simple root）
• $k\ge 2$：重根（multiple root）

与相近概念的区别

概念	关键差别
多项式 $f(x)$	形式符号表达式，$x$ 是不定元
多项式函数 $\hat{f}$	具体映射 $K\to K$，代值可得
根 $c$（$f(c)=0$）	多项式函数的零点
重数 $k$	$(x-c)$ 在 $f$ 因式分解中出现的次数

关键事实（由 ALG-THM-004 因式定理保证）：

$c$ 是 $f$ 的根 $⟺$ $(x-c)\mid f(x)$。

因此根的重数与其作为因式的 $(x-c)$ 的重数是同一概念。

直觉理解

多项式函数就是把”形式符号” $x$ 换成具体数字 $c$ 做计算。$\hat{f}$ 是 $f$ 的”数值表现”，$f$ 是 $\hat{f}$ 的”形式源头”。

在无限域（如 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$）上，$f$ 与 $\hat{f}$ 一一对应——不同的多项式诱导不同的函数。 在有限域（如 ${\mathbb{F}}_2$）上，这一对应不是单射：$x^2+x$ 与 $0$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 上诱导相同的函数（$0^2+0=0$，$1^2+1=0$），但是不同的多项式。

根的重数反映的是”曲线在根附近的平坦程度”：

• 单根：图像穿过 $x$ 轴（如 $f(x)=x$ 在 $0$ 处）；
• 偶重根：图像”轻触” $x$ 轴后弹回（如 $f(x)=x^2$ 在 $0$ 处）；
• 奇重根（$\ge 3$）：图像穿过但更”水平”（如 $f(x)=x^3$ 在 $0$ 处）。

链接

• 前置：ALG-DEF-001 一元多项式
• 核心定理：ALG-THM-004 余数定理与因式定理（说明根 ⇔ 一次因式）、ALG-THM-005 根的个数不超过次数
• 关联：ALG-DEF-005 重因式（根的重数与形式导数直接相关）
• 用于：ALG-THM-006 重因式判定

跨专业应用

• 数值分析：求多项式全部根是数值代数的经典问题——Newton 法、伴随矩阵特征值法（通过 companion matrix 将求根化为特征值问题）均以此为基本工具
• 信号处理：系统的传递函数 $H(s)$ 是多（项）式之比，其极点（分母根）决定系统的稳定性与响应形态