根的个数不超过次数（含重数）

条件

设 $f(x)\in K[x]$ 是非零多项式，$\mathrm{deg}f=n$。将 $f$ 在 $K$ 中的全部根（计重数）记为 $r_1,r_2,\dots ,r_m$。

结论

$f$ 在 $K$ 中至多有 $n$ 个根（计重数）。即

$$\sum _{i=1}^m(\text{根 }{r}_i\text{ 的重数})\le n.$$

等价表述：$f$ 至多可被分解出 $\mathrm{deg}f$ 个一次因式 $(x-r_i)$（计重数）。

若 $K$ 是代数闭域（如 $\mathbb{C}$），则等号成立：$n$ 次多项式恰有 $n$ 个根（计重数）。这是在 $\mathbb{C}$ 上的代数基本定理（ALG-THM-007，待建）的直接推论。

几何/直觉理解

一个 $n$ 次多项式不会比它的次数有更多的根——次数是”复杂度”的上限，而根是”零点”的计数。

把多项式想象成”由一次因式堆积而成”：每出现一个 $k$ 重根 $c$，就消耗 $(x-c{)}^k$ 这 $k$ 个一次因式。$\mathrm{deg}f=n$ 意味着最多有 $n$ 个一次因式可用（唯一分解定理 ALG-THM-002 下），因此根的总重数不可能超过 $n$。

这个结论是整体的——不依赖于域 $K$ 的特性（甚至适用于有限域），只依赖于多项式次数的加法性质。

证明

证法 1（逐次降次法） 对 $n$ 用归纳。

• $n=0$：$f$ 是非零常数，无根，结论平凡成立。

• 假设对 $\mathrm{deg}<n$ 的多项式结论成立。设 $c$ 是 $f$ 的一个根（若有根；若无根则结论平凡成立）。由因式定理（ALG-THM-004），

  $$f(x)=(x-c)g(x),$$

  其中 $g(x)\in K[x]$，且 $\mathrm{deg}g=n-1$。$f$ 的根集合是 $\{c\}\cup g$ 的根集合。由归纳假设，$g$ 至多有 $n-1$ 个根（计重数），故 $f$ 至多有 $1+(n-1)=n$ 个根（计重数）。$■$

证法 2（唯一分解 + 次数比较） 由唯一分解定理（ALG-THM-002），$f$ 可唯一分解为

$$f=c\cdot p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k},$$

其中 $p_i$ 是首一不可约多项式。每个根 $r_i$ 对应一个一次因式 $(x-r_i)$（在 $K$ 中的意义下），且其重数就是 $(x-r_i)$ 在分解中出现的指数。因 $\sum e_i\mathrm{deg}{p}_i=n$，而每个一次因式 $\mathrm{deg}(x-r_i)=1$，故根的个数（计重数）$\sum e_i\le n$。$■$

常见错误

• ✗ 把结论误认为”恰有 $n$ 个根”。这只在代数闭域（如 $\mathbb{C}$）上成立——一般域上根的个数可以严格小于次数。 反例：$f(x)=x^2+1$ 在 $\mathbb{R}[x]$ 中 $\mathrm{deg}=2$，但没有实根。在 $\mathbb{C}[x]$ 中它有 $2$ 个根 $\pm i$。
• ✗ 混淆”不计重数”和”计重数”。不计重数时结论更弱：至多 $n$ 个不同的根。 上面的证明自动计入了重数——逐次提取根时，$k$ 重根被提取了 $k$ 次。
• ✗ 认为”有 $n$ 个根”意味着”可分解为 $n$ 个一次因式”在任意域上都成立。 实际上这需要域是代数闭的。在 $\mathbb{R}$ 上，$x^4+1$ 有 0 个实根但 $\mathrm{deg}=4$，其 $\mathbb{R}[x]$ 分解是两个二次因式之积。
• ✗ 把本定理当作代数基本定理。前者是次数比较的简单推论（在任意域上都成立），后者断言 $\mathbb{C}[x]$ 中每个非常数多项式至少有一个根——是一个深得多的分析/拓扑结论。

推论与应用

• 插值唯一性：若 $n$ 次多项式 $f,g$ 在 $n+1$ 个不同点上取值相同，则 $f=g$。 推理：$f-g$ 的次数 $\le n$ 但有 $n+1$ 个不同的根，故只能是零多项式。
• Vieta 公式的根计数基础（与对称多项式 ALG-DEF-008 关联）。
• 为代数基本定理（ALG-THM-007，待建）的”一次因式分解推论”做铺垫。

链接

• 前置：ALG-THM-004 因式定理、ALG-DEF-006 多项式函数与根
• 关联：代数基本定理（ALG-THM-007，待建，复数域上等号成立）
• 延伸：ALG-THM-002 唯一分解定理（根的计数可视为次数的一个应用）

跨专业应用

• 插值理论：$n+1$ 个数据点唯一确定一个 $n$ 次插值多项式——这是构造 Lagrange / Newton 插值公式的理论基础。若有两个不同的 $n$ 次多项式通过同样的 $n+1$ 个点，它们的差 $\ne 0$ 但次数 $\le n$ 且有 $n+1$ 个根，与本定理矛盾。
• 编码理论：Reed–Solomon 码的码字被编码为多项式在求值点的取值。两个不同码字对应的多项式至多在 $n$ 个点上取值相同（纠错能力由此导出）。