有理根定理 + Eisenstein 判别法 + Gauss 引理

条件

设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x]$ 是整系数多项式，$a_n\ne 0$。

结论

有理根定理（Rational Root Theorem）

若 $p/q\in \mathbb{Q}$（$p,q$ 互素，$q>0$）是 $f$ 的根，则 $p\mid a_0$ 且 $q\mid a_n$。

特别地：

• 若 $f$ 是首一多项式（$a_n=1$），则任意有理根都是整数，且整除常数项 $a_0$。
• 有理根的候选集为 $\{\pm p/q:p\mid a_0,q\mid a_n\}$（有限集，可逐一验证）。

Gauss 引理（Gauss’s Lemma）

本原多项式的乘积仍是本原多项式。

等价表述：若 $f,g\in \mathbb{Z}[x]$ 都是本原多项式（ALG-DEF-007），则 $fg$ 也是本原的。

推论（$\mathbb{Z}[x]$ 上的唯一分解）

若 $f\in \mathbb{Z}[x]$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中可约（可分解为两个非常数整系数多项式之积），则在 $\mathbb{Q}[x]$ 中也可约。反之，若 $f$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中可约且 $f$ 本原，则在 $\mathbb{Z}[x]$ 中也可约。

因此，$\mathbb{Q}[x]$ 上的因式分解问题可以安全地”去分母”后在 $\mathbb{Z}[x]$ 中操作。

Eisenstein 判别法（Eisenstein’s Criterion）

设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x]$。若存在素数 $p$ 满足：

1. $p\nmid a_n$（最高次项不被 $p$ 整除）；
2. $p\mid a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_0$（其余所有系数都被 $p$ 整除）；
3. $p^2\nmid a_0$（常数项不被 $p^2$ 整除）。

则 $f$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约。

几何/直觉理解

有理根定理将”找有理根”从无限搜索变成有限枚举：一个整系数多项式的有理根只能是 $\pm$ (常数项的因子)/(首项系数的因子)。

例如 $f(x)=2x^3-x^2-4x+2$，有理根只可能是 $\pm 1,\pm 2,\pm 1/2$——共 6 个候选，逐一验证即可。这比漫无目的地试要高效得多。

Gauss 引理在直觉上很自然：如果两个整系数多项式各自系数互素，它们的乘积系数也不会有公共因子。但证明并非平凡——需要通过容度的性质严谨论证。

Eisenstein 判别法是一个充分但非必要的条件：找到一个素数 $p$ 满足那些整除条件，就能立刻判定多项式不可约。它虽不总能适用，但一旦适用就极为强大。很多经典不可约多项式都可用它判定：

• $x^n-2$（取 $p=2$）在 $\mathbb{Q}[x]$ 不可约；
• $x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$（分圆多项式，取 $p$ 本身经变换后用 Eisenstein）。

证明

有理根定理

设 $p/q$ 是 $f$ 的根，$p,q$ 互素。则 $f(p/q)=0$，代入得

$$a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0.$$

两边乘以 $q^n$：

$$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0.$$

整理：

$$a_n{p}^n=-q(a_{n-1}{p}^{n-1}+\cdots +a_0{q}^{n-1})⟹q\mid a_n{p}^n.$$

由于 $\gcd (p,q)=1$，$q$ 与 $p$ 无公共因子，故 $q\mid a_n$。同理移项得 $p\mid a_0$。$■$

Gauss 引理

设 $f,g\in \mathbb{Z}[x]$ 本原。反设 $h=fg$ 非本原，则存在素数 $p$ 整除 $h$ 的所有系数。

将 $f,g$ 的系数模 $p$ 得 $\bar{f},\bar{g}\in {\mathbb{F}}_p[x]$。因 $f$ 本原，$\bar{f}\ne 0$（至少有一个系数不被 $p$ 整除）；同理 $\bar{g}\ne 0$。而 $h$ 的系数全部被 $p$ 整除，故 $\bar{h}=\bar{f}\bar{g}=0\in {\mathbb{F}}_p[x]$。

由于 ${\mathbb{F}}_p$ 是域，${\mathbb{F}}_p[x]$ 是整环（无零因子），$\bar{f}\bar{g}=0$ 推出 $\bar{f}=0$ 或 $\bar{g}=0$，矛盾。故 $h$ 本原。$■$

Eisenstein 判别法

设 $f$ 满足 Eisenstein 条件（素数 $p$）。假设 $f$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中可约，由 Gauss 引理推论，$f$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中可约：$f=gh$，其中

$$g(x)=b_r{x}^r+\cdots +b_0,h(x)=c_s{x}^s+\cdots +c_0,r,s\ge 1,r+s=n.$$

比较常数项：$a_0=b_0{c}_0$。由条件 $p\mid a_0$ 且 $p^2\nmid a_0$，故 $p$ 恰好整除 $b_0$ 和 $c_0$ 中的一个。不妨设 $p\mid b_0$，$p\nmid c_0$。

比较 $x^n$ 项：$a_n=b_r{c}_s$，由条件 $p\nmid a_n$，故 $p\nmid b_r$ 且 $p\nmid c_s$。

设 $t$ 是 $g$ 中最小下标使得 $p\nmid b_t$。由 $p\mid b_0$ 知 $t\ge 1$。比较 $x^t$ 项系数：

$$a_t=b_0{c}_t+b_1{c}_{t-1}+\cdots +b_{t-1}{c}_1+b_t{c}_0.$$

前面 $t$ 项都含 $p$ 的因子（因为 $b_0,\dots ,b_{t-1}$ 都被 $p$ 整除），最后一项 $b_t{c}_0$ 不被 $p$ 整除（$p\nmid b_t,p\nmid c_0$），故 $a_t$ 不被 $p$ 整除。

但 $t<n$（因 $r\ge 1$，$t$ 在 $g$ 的下标范围内且 $t\le r<n$），由条件知 $p\mid a_{n-1},\dots ,a_0$，故 $p\mid a_t$，矛盾。$■$

常见错误

• ✗ 把有理根定理当充分条件使用：候选有理根中没有一个为零，不说明多项式没有有理根以外的根——它当然可以有无理根（如 $\sqrt{2}$）或复根。 反例：$x^2-2$ 的有理根候选为 $\pm 1,\pm 2$，全部不是根，但多项式有根 $\pm \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$。
• ✗ 误认为 Eisenstein 判别法是”不可约的充要条件”。它只是充分条件——很多不可约多项式不满足 Eisenstein 条件（如 $x^4+1$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 不可约，但 Eisenstein 无法直接应用，需要做代换 $x\mapsto x+1$ 后用 Eisenstein）。
• ✗ 忘记 Gauss 引理的”$\mathbb{Q}[x]$ 可约 ⇔ $\mathbb{Z}[x]$ 可约”需要 $f$ 本原。若非本原，先提取容度（ALG-DEF-007）再应用。 反例：$f=2x+2=2(x+1)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约，但若直接在 $\mathbb{Z}[x]$ 中看似乎可约——实际上提取容度 2 后得到本原部分 $x+1$，它在 $\mathbb{Z}[x]$ 中不可约。
• ✗ 把 Eisenstein 的 $p$ 和多项式中的常数 $p$ 混淆。$p$ 是一个素数，不是多项式的参数。

推论

1. Eisenstein 多项式的不可约性：对任意素数 $p$，$x^n-p$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 不可约。更一般地，$x^n-a$ 在 $a$ 有素因子 $p$ 满足 $p\mid a$ 且 $p^2\nmid a$ 时不可约。
2. 分圆多项式：${\Phi }_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 不可约（变换 $x\mapsto x+1$ 后用 Eisenstein）。
3. 有理根的有限枚举：有理根定理将找根问题从无限降到有限步验证。

链接

• 前置：ALG-DEF-007 本原多项式与容度、ALG-DEF-006 多项式函数与根
• 关联：ALG-THM-002 唯一分解定理（Gauss 引理是 $\mathbb{Z}[x]$ 唯一分解的关键）
• 后续：Eisenstein 判别法用于构造有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的不可约多项式

跨专业应用

• 符号计算：CAS 系统的 RationalRoots 和 Factor 函数核心算法完全基于有理根定理和 Eisenstein 判别的组合搜索
• 编码理论：分圆多项式 ${\Phi }_n(x)$ 的不可约性是 Reed–Solomon 码和 BCH 码的代数基础——循环码的生成多项式往往是分圆多项式或其因式
• 密码学：有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的构造需要 ${\mathbb{F}}_p[x]$ 上的 $n$ 次不可约多项式——Eisenstein 判别法是寻找这类多项式的最直接工具