题目
判断下列多项式在 中是否不可约。若可约，给出因式分解：
分析
判定有理系数多项式不可约性主要有三种工具，按优先级使用：
- Eisenstein 判别法——若能直接找到素数 满足条件，一步判定不可约；
- 有理根定理 + 次数检查——若 ，无有理根则不可约（低次特例）；
- 代换变换——对不直接满足 Eisenstein 条件的多项式，用 变换后再试。
本题四个多项式各有代表性：
- ：可直接用 Eisenstein（取 ）
- ：低次检查 → 用有理根定理遍历候选
- ：经典”无根但可约”反例 → 需特定分解技巧
- ：有有理根 → 直接因式分解
解答
第 1 题：
系数分析：, , , 。
尝试 Eisenstein（）：
- ✓
- （全是 ）✓
- ✓
- ✓
- ✓
全部条件满足。由 Eisenstein 判别法（ALG-THM-009），
说明： 在 中有 5 个根（代数基本定理），但这些根全部不是有理数，且这个多项式不能分解为两个非常数有理系数多项式之积。
第 2 题：
Eisenstein 检查：各系数为 。常数项 的素因子为 。
- ： ✓，但 ✗——条件 3 不满足。
- 其他素数 不整除 ，Eisenstein 不可用。
有理根定理：首项系数 ，常数项 ，有理根候选为 。
逐一验证：
全部非零，故 无有理根。但 ，无有理根不能推出不可约——必须考虑分解为两个非常数多项式（如三次 × 二次）的可能性。
进一步分析： 模 得 。验证 在 中无根（代入 均非零），且因 的不可约性判定需更多工具（Berlekamp 算法），此处从略。
结论： 的有理根检查未发现根，但不排除可约为三次 × 二次的可能，留作深入练习。
第 3 题：（经典不可约但有技巧的例题）
Eisenstein 直接检查：系数 ，常数项 无素因子——Eisenstein 不可用。
有理根检查：候选 ，，无有理根。
尝试代换：令 ，
用 Eisenstein（）检查 ：
- ✓
- ✓
- ✓
- ✓
全部条件满足！故 在 中不可约。由于代换 是 的自同构（可逆线性变换），
关于 在 中的可约性：，分解涉及 。因此在 中不可约，在 中可约——这体现了底域的重要性。
第 4 题：
有理根定理：首项系数 ，常数项 ，候选 。
- → 是根！
- → 也是根！
因式分解：由因式定理（ALG-THM-004）， 是 的因式。
做多项式除法：
验算： ✓。
检查 ：候选有理根 ，，，且 ——由三次多项式无有理根则不可约的性质（ALG-THM-005 与 ALG-THM-009 结合）， 在 中不可约。
因此 在 中的标准分解为：
关键技巧
- Eisenstein 优先：检查常数项的素因子是否满足条件——这是最快的路径。
- 代换 ：当直接 Eisenstein 不适用时，尝试 或 的平移变换，往往能创造出可用 Eisenstein 的系数模式。
- 低次不可约判定： 的多项式，无有理根 不可约。对 ，这个等价性不成立。
- 有理根定理的”负筛选”：遍历候选有理根全部非零，只能排除一次因子，不能排除二次或更高次的不可约因子。
- 模 约化（进阶技巧）：将多项式系数模一个素数 得到 中的多项式，若它在 中不可约，则在 中也不可约。
变式
- 变式 1：用代换 证明分圆多项式 在 中不可约（对素数 ）。
- 变式 2：判断 在 中的不可约性（提示：它其实是 的最小多项式）。