$k$ 阶子式与 Laplace 定理

定义陈述

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。任选 $k$ 行（$1\le i_1<\cdots <i_k\le n$）和 $k$ 列（$1\le j_1<\cdots <j_k\le n$），这些行和列交叉处的 $k^2$ 个元素按原顺序构成的 $k$ 阶行列式称为 $A$ 的一个 $k$ 阶子式（$k$-minor），记作 $M\left(\begin{array}{c}{i}_1,\dots ,i_k\\ j_1,\dots ,j_k\end{array}\right)$。

删去这 $k$ 行和 $k$ 列后得到的 $(n-k)$ 阶子式乘以 $(-1{)}^{\sum i_p+\sum j_p}$ 称为对应的代数余子式。

直觉理解

$k$ 阶子式是行列式的”子块”行列式——任选 $k$ 行 $k$ 列，取出交叉位置的元素构成小方阵求行列式。$k=1$ 时就是元素本身，$k=n$ 时就是原行列式。

Laplace 定理（ALG-THM-014）是将按一行展开推广到按任意 $k$ 行展开的通用工具。

链接

• 前置：ALG-DEF-010 $n$ 阶行列式、ALG-DEF-011 余子式
• 用于：ALG-THM-014 Laplace 定理（按 $k$ 行展开）