余子式与代数余子式

定义陈述

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵。$A$ 的 $(i,j)$-余子式（minor）$M_{ij}$ 定义为删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶子式的行列式。

$A$ 的 $(i,j)$-代数余子式（cofactor）$A_{ij}$ 定义为

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}.$$

直觉理解

余子式 $M_{ij}$ 就是”去掉 $a_{ij}$ 所在的行和列后剩下的小矩阵的行列式”。

代数余子式 $A_{ij}$ 在余子式基础上加了符号 $(-1{)}^{i+j}$——这个符号由位置 $(i,j)$ 的”棋盘染色”决定：$(-1{)}^{1+1}=+1$，$(-1{)}^{1+2}=-1$，$(-1{)}^{1+3}=+1$，依此类推。

核心应用：按行（列）展开公式（ALG-THM-011）将 $n$ 阶行列式降为 $(n-1)$ 阶行列式的线性组合，是行列式计算的核心递推工具。

链接

• 前置：ALG-DEF-010 $n$ 阶行列式
• 用于：ALG-THM-011 按行（列）展开、ALG-DEF-015 伴随矩阵
• 推广：ALG-DEF-012 $k$ 阶子式与 Laplace 定理