向量组的线性相关与线性无关

定义陈述

设 $V$ 是向量空间（或 ${\mathbb{R}}^n$），${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\in V$。

称 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 线性相关，若存在不全为零的 $k_1,\dots ,k_s\in F$ 使得

$$k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s=0.$$

否则称它们线性无关——即只有 $k_1=\cdots =k_s=0$ 时上述等式才成立。

直觉理解

• 相关 = 至少有一个向量是其它向量的线性组合，存在冗余。
• 无关 = 每个向量都提供了”新方向”，谁也替代不了谁。
• 单个向量 $\alpha$ 无关 $⟺\alpha \ne 0$。
• 两个向量相关 $⟺$ 它们成比例。
• 包含零向量的向量组一定相关。

常见错误

• ✗ 认为相关就是某个向量被”等于”其他向量的组合——并不要求系数全部非零，只要”存在一组不全为零的系数”即可。

链接

• 用于：ALG-DEF-019 向量组的秩、ALG-THM-020 线性相关性判定