基础解系

定义陈述

设 $Ax=0$ 是 $m\times n$ 齐次线性方程组，其解集构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间，称为解空间（null space / kernel）。

解空间的基础解系（fundamental system of solutions）是解空间的一组基——即一组线性无关的解向量 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_t$，使得每个解都可唯一表示为它们的线性组合。

直觉理解

基础解系 = 解空间的”骨架”。找到基础解系 = 完全描述所有解。如果 $\mathrm{rank}(A)=r$，则解空间维数 $=n-r$，基础解系包含 $n-r$ 个向量。

链接

• 前置：ALG-DEF-021 齐次方程组、ALG-DEF-019 极大无关组
• 用于：ALG-THM-025 齐次解空间维数