秩的性质

条件

设 $A,B$ 是适当阶数的矩阵。

结论

1. 初等变换不改变秩：若 $A\stackrel{\text{行变换}}{\to }B$，则 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)$。
2. 秩的乘法不等式：$\mathrm{rank}(AB)\le \min \{\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)\}$。
3. Sylvester 秩不等式：$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n\le \mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$。
4. Frobenius 秩不等式：$\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le \mathrm{rank}(B)+\mathrm{rank}(ABC)$。
5. $k$ 阶子式刻画：$\mathrm{rank}(A)\ge r⟺A$ 存在非零的 $r$ 阶子式，且所有 $r+1$ 阶子式为零。

直觉理解

秩衡量”信息维度”：矩阵乘法会丢失信息（维度只减不增），不等式给出了丢失的上界。

链接

• 前置：ALG-THM-022 行秩 = 列秩
• 用于：ALG-THM-024 齐次方程组