行秩 = 列秩 = 矩阵秩

条件

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵。

结论

$A$ 的行向量组的秩（行秩）等于列向量组的秩（列秩），统称为矩阵的秩 $\mathrm{rank}(A)$。

直觉理解

为什么行数可以和列数相等？核心在于初等变换不改变行秩和列秩——阶梯形中非零行数 = 主元个数 = 列秩（主元所在的列线性无关）。

几何：线性变换 $x\mapsto Ax$ 的像空间维数（列秩）等于”有效行数”（行秩），因为它们描述的是同一个线性映射的秩。

证明思路

设 ${\mathrm{rank}}_{\text{row}}(A)=r$，取行向量组的极大无关组构成 $r\times n$ 矩阵 $B$。则 $A$ 的每行是 $B$ 的行的线性组合 ⇒ $A=CB$。由 D 的列秩 ≤ $r$，进而可得列秩 ≤ 行秩。对称地得行秩 ≤ 列秩。$■$

链接

• 前置：ALG-THM-021 替换定理、ALG-DEF-020 矩阵的秩
• 用于：ALG-THM-023 秩的性质