矩阵的秩

定义陈述

矩阵 $A$ 的秩（rank）定义为 $A$ 的行向量组的秩（行秩）或列向量组的秩（列秩）——由 ALG-THM-022 保证两者相等。

等价定义为 $A$ 通过初等变换化为行阶梯形后，非零行的个数（即主元的个数），记作 $\mathrm{rank}(A)$。

直觉理解

矩阵的秩衡量矩阵中”真正独立的行/列数”。秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵，其行空间和列空间都是 $r$ 维的。

几何意义: 线性变换 $x\mapsto Ax$ 的像空间的维数。

常见错误

• ✗ 认为方阵的秩等于行列式非零的阶数——这对，但阶梯形法更通用，适合任意大小矩阵。

链接

• 前置：ALG-DEF-017 阶梯形、ALG-DEF-019 向量组的秩
• 用于：ALG-THM-022 行秩 = 列秩、ALG-THM-023 秩的性质、ALG-THM-024 齐次方程组