非齐次解的结构（特解 + 齐次通解）

条件

设 $Ax=b$ 是相容（有解）的非齐次线性方程组，$x_0$ 是它的一个特解。

结论

$Ax=b$ 的通解 = $x_0+\mathrm{Ker}(A)$，即

$x=x_0+c_1{\eta }_1+\cdots +c_{n-r}{\eta }_{n-r},$

其中 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，$c_i$ 为任意常数。

直觉理解

非齐次解 = 一个”锚点”（特解）+ 齐次空间里任意游走。整体形状是齐次解空间平移了一个特解。

几何：${\mathbb{R}}^n$ 中的仿射子空间（不过原点的”平面”）。

证明

若 $x_1,x_2$ 都是 $Ax=b$ 的解，则 $A(x_1-x_2)=b-b=0$，即差是齐次解。反之，特解加齐次解仍满足原方程。$■$

链接

• 前置：ALG-THM-025 齐次解空间维数
• 用于：ALG-THM-027 相容性判定