齐次解空间维数 = n - rank(A)

条件

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathrm{rank}(A)=r$。

结论

齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间 $\mathrm{Ker}(A)$ 的维数为 $n-r$。

即 $\dim \mathrm{Ker}(A)=n-\mathrm{rank}(A)$。

直觉理解

每个线性无关的约束方程消除一个自由度。$r$ 个独立约束 ⇒ 剩下 $n-r$ 个自由变量 ⇒ 基础解系包含 $n-r$ 个向量。

证明

将 $A$ 化为 RREF，有 $r$ 个主元列，$n-r$ 个自由列。自由列对应的变量可作为自由参数。令每个自由参数取 1 其余取 0，得到 $n-r$ 个线性无关的解向量，构成基础解系。$■$

链接

• 前置：ALG-THM-024 齐次非零解条件、ALG-DEF-022 基础解系
• 用于：ALG-THM-026 非齐次解结构