条件
设 是 个方程 个未知数的非齐次线性方程组， 是增广矩阵。
结论
有解 。
此时：
- 若 ，则唯一解；
- 若 ，则无穷多解（自由度 ）。
直觉理解
增广矩阵加了一列 。如果 不在 的列空间中，相容性就破坏了——增加这一列”撑”大了秩。增广秩 = 原秩 ⇔ 在列空间中 ⇔ 可解。
常见错误
- ✗ 只检查方程数 与未知数 的关系来判断解的存在性——关键看秩，不是方程个数。
链接
- 前置：ALG-DEF-020 矩阵的秩、ALG-DEF-021 齐次/非齐次方程组
设 是 个方程 个未知数的非齐次线性方程组， 是增广矩阵。
有解 。
此时：
- 若 ，则唯一解；
- 若 ，则无穷多解（自由度 ）。
增广矩阵加了一列 。如果 不在 的列空间中，相容性就破坏了——增加这一列”撑”大了秩。增广秩 = 原秩 ⇔ 在列空间中 ⇔ 可解。