线性空间的同构

定义陈述

设 $V,W$ 是域 $F$ 上的线性空间。称 $V$ 与 $W$ 同构（isomorphic），若存在线性同构映射 $\phi :V\to W$——即满足：

1. 线性性：$\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$，$\phi (au)=a\phi (u)$；
2. 双射：$\phi$ 是单射且满射。

记作 $V\cong W$。

直觉理解

同构 = 两个线性空间”结构完全相同”——只是元素的标签不同。本质上它们具有相同的线性结构，一切线性性质（维数、线性相关性、子空间结构）都一样。

例子：${\mathbb{R}}^2$ 与复平面 $\mathbb{C}$（作为 $\mathbb{R}$-线性空间）同构——$(a,b)\leftrightarrow a+bi$。

链接

• 前置：ALG-DEF-023 线性空间
• 用于：ALG-THM-033 同构 ⇔ 维数相等