有限维线性空间同构 ⇔ 维数相等

条件

设 $V, W$ 是域 $F$ 上的有限维线性空间。

$V ≅ W ⟺ dim V = dim W$ 。

特别地，任何 $n$ 维 $F$ -线性空间都同构于 $F^{n}$ 。

有限维线性空间”本质上就是 $F^{n}$ “——选一组基，坐标映射 $φ (v) = [v]_{B}$ 就是到 $F^{n}$ 的同构。维数相同的两个空间通过”都同构于同一个 $F^{n}$ “而互相同构。

( $\Rightarrow$ ) 同构保持基的个数，所以维数相等。 ( $\Leftarrow$ ) 取 $V$ 的基 $B$ ， $W$ 的基 $B^{'}$ ，定义 $φ (v) = [v]_{B} \mapsto [v]_{B}$ 在 $B^{'}$ 下的线性组合，易验证为同构。 $■$