线性空间（向量空间）公理

定义陈述

设 $F$ 是一个域（通常取 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$），$V$ 是一个非空集合，其上定义了加法 $+:V\times V\to V$ 和数乘 $\cdot :F\times V\to V$。若满足以下 8 条公理，则称 $V$ 是 $F$ 上的线性空间（或向量空间）：

加法公理（$u,v,w\in V$）：

1. 交换律：$u+v=v+u$
2. 结合律：$(u+v)+w=u+(v+w)$
3. 零元：存在 $0\in V$ 使 $v+0=v$
4. 负元：对每个 $v$ 存在 $-v$ 使 $v+(-v)=0$

数乘公理（$a,b\in F$）： 5. 结合律：$a(bv)=(ab)v$ 6. 分配律 I：$(a+b)v=av+bv$ 7. 分配律 II：$a(u+v)=au+av$ 8. 单位元：$1\cdot v=v$

直觉理解

线性空间是所有”可以加和可以乘标量”的对象的集合。${\mathbb{R}}^n$ 是最典型的例子，但多项式、函数、矩阵等也构成线性空间。关键是两条运算封闭且满足这些自然的代数性质。

常见例子

• ${\mathbb{R}}^n$（实 $n$ 维向量空间）
• $F[x]$（系数在 $F$ 上的一元多项式全体）
• $M_{m\times n}(F)$（$m\times n$ 矩阵全体）
• $C[a,b]$（闭区间上连续函数全体）

链接

• 用于：ALG-DEF-024 子空间、ALG-DEF-030 线性空间的同构