商空间（进阶）

定义陈述

设 $V$ 是线性空间，$W$ 是 $V$ 的子空间。定义 $V$ 上的等价关系：$u\sim v⟺u-v\in W$。

记 $v+W=\{v+w\mid w\in W\}$ 为等价类。所有等价类的集合记为 $V/W$，称为 $V$ 模 $W$ 的商空间（quotient space）。

在 $V/W$ 上定义加法和数乘：

$$(v_1+W)+(v_2+W)=(v_1+v_2)+W,a(v+W)=av+W.$$

$V/W$ 构成线性空间，且 $\dim (V/W)=\dim V-\dim W$。

直觉理解

商空间把 $W$ 的方向全部”压缩为零”，只保留垂直于 $W$ 的方向。相当于把 $V$ 按 $W$ 折叠——平行于 $W$ 的向量被识别为同一个点。

链接

• 前置：ALG-DEF-024 子空间
• 用于：ALG-THM-035 补空间的存在性