补空间的存在性

条件

设 $V$ 是有限维线性空间，$W$ 是 $V$ 的子空间。

结论

存在子空间 $U\subseteq V$ 使 $V=W\oplus U$。称 $U$ 是 $W$ 的补空间（complementary subspace）。

补空间不唯一，但 $\dim U=\dim V-\dim W$ 唯一。

证明

取 $W$ 的一组基，扩充为 $V$ 的基。新增的基向量张成的子空间即为一个补空间。$■$

链接

• 前置：ALG-THM-029 基扩充定理、ALG-DEF-029 直和