子空间

定义陈述

设 $V$ 是 $F$ 上的线性空间，$W\subseteq V$ 是非空子集。若 $W$ 对 $V$ 的加法和数乘运算也构成 $F$ 上的线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的子空间（subspace）。

等价判定（子空间判别法）：$W\subseteq V$ 是子空间 $⟺$

1. $0\in W$；
2. 对任意 $u,v\in W$，$u+v\in W$（加法封闭）；
3. 对任意 $a\in F$，$v\in W$，$av\in W$（数乘封闭）。

直觉理解

子空间 = 包含在原空间里的”更小的线性空间”——必须过原点，且对加法和数乘封闭。比如 ${\mathbb{R}}^3$ 中过原点的直线和平面都是子空间。

链接

• 前置：ALG-DEF-023 线性空间
• 用于：ALG-DEF-025 生成子空间、ALG-DEF-029 子空间的和与直和