直和的等价判定

条件

设 $U,W$ 是 $V$ 的子空间。

结论

以下命题等价：

1. $U+W$ 是直和（$U\cap W=\{0\}$）；
2. $\dim (U+W)=\dim U+\dim W$；
3. $U+W$ 中每个向量表示法唯一。

对多个子空间：$W_1+\cdots +W_k$ 是直和 $⟺$ $W_i\cap {\sum }_{j\ne i}{W}_j=\{0\}$ 对所有 $i$。

直觉理解

直和 = 没有冗余 = 维数直接相加 = 分解唯一。

类比：坐标系分解——${\mathbb{R}}^3=\mathbb{R}{e}_1\oplus \mathbb{R}{e}_2\oplus \mathbb{R}{e}_3$，每个向量分解成三个坐标分量唯一。

链接

• 前置：ALG-DEF-029 直和、ALG-THM-030 维数公式