子空间的和与直和

定义陈述

设 $U,W$ 是 $V$ 的子空间。定义它们的和（sum）为

$$U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}.$$

若 $U\cap W=\{0\}$，则称 $U+W$ 为直和（direct sum），记作 $U\oplus W$。

直和等价刻画：和 $U+W$ 中每个向量可唯一地表示为 $u+w$。

直觉理解

• 和：两个子空间所有可能加法的集合。
• 直和：两个子空间互不相交（只在 0 相交），此时和是”无冗余”的。

几何：${\mathbb{R}}^3$ 中 $xy$-平面与 $z$-轴的和是 ${\mathbb{R}}^3$，且是直和（交只有原点）。

链接

• 前置：ALG-DEF-024 子空间
• 用于：ALG-THM-030 维数公式、ALG-THM-031 直和判定