维数公式（子空间的和）

条件

设 $V$ 是有限维线性空间，$U,W$ 是 $V$ 的子空间。

结论

$$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W).$$

直觉理解

两个子空间之和的维数 = 各自维数之和减去重叠部分。重叠部分被重复计算了——这是集合论的容斥原理在线性空间中的体现。

证明

取 $U\cap W$ 的一组基，分别扩充为 $U$ 和 $W$ 的基。将这些基向量合并后验证线性无关且张成 $U+W$，即可数出维数。$■$

链接

• 前置：ALG-DEF-029 子空间的和、ALG-THM-029 基扩充定理
• 用于：ALG-THM-031 直和判定