坐标变换公式

条件

设 $B,B^{\prime }$ 是 $V$ 的两组基，$P$ 是从 $B$ 到 $B^{\prime }$ 的过渡矩阵。

结论

对任意 $v\in V$，有

$[v{]}_B=P[v{]}_{B^{\prime }},[v{]}_{B^{\prime }}=P^{-1}[v{]}_B.$

若 $\phi :V\to V$ 是线性变换，其在 $B$ 下的矩阵为 $A$，在 $B^{\prime }$ 下的矩阵为 $A^{\prime }$，则

$A^{\prime }=P^{-1}AP.$

直觉理解

坐标变换分两层：向量的坐标用 $P$ 换基，线性变换的矩阵用 $P^{-1}AP$ 换基（相似变换）。

链接

• 前置：ALG-DEF-028 基变换与过渡矩阵
• 用于：ALG-THM-036 线性变换与矩阵