线性变换与矩阵一一对应

条件

设 $V,W$ 是有限维线性空间，$\dim V=n$，$\dim W=m$。

结论

固定基 $B$（$V$ 的基）和 $B^{\prime }$（$W$ 的基）后，映射

$$\Phi :\mathrm{Hom}(V,W)\to F^{m\times n},\phi \mapsto [\phi {]}_{B,B^{\prime }}$$

是线性同构。即：

1. 每个线性映射对应唯一一个矩阵；
2. 每个矩阵对应唯一一个线性映射；
3. 映射的复合对应矩阵的乘法。

直觉理解

“选基之后，线性变换 = 矩阵”——这是线性代数最核心的思想之一。变换的复合转化为矩阵乘法，坐标变换对应相似变换。

链接

• 前置：ALG-DEF-033 矩阵表示、ALG-THM-033 同构
• 用于：ALG-THM-037 秩-零化度定理