基变换与过渡矩阵

定义陈述

设 $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ 和 $B^{\prime }=\{v_1^{\prime },\dots ,v_n^{\prime }\}$ 是 $V$ 的两组基。将 $B^{\prime }$ 的每个基向量用 $B$ 表示：

$$v_j^{\prime }=\sum _{i=1}^n{p}_{ij}{v}_i,j=1,\dots ,n.$$

称矩阵 $P=(p_{ij})$ 为从基 $B$ 到基 $B^{\prime }$ 的过渡矩阵（transition matrix）。

坐标变换公式：若 $[v{]}_B$ 和 $[v{]}_{B^{\prime }}$ 是同一向量在不同基下的坐标，则

$$[v{]}_B=P[v{]}_{B^{\prime }},[v{]}_{B^{\prime }}=P^{-1}[v{]}_B.$$

直觉理解

过渡矩阵 $P$ 的 $j$ 列正是 $v_j^{\prime }$ 在 $B$ 下的坐标。左乘 $P$ 表示”从新基坐标换算到旧基坐标”。

链接

• 前置：ALG-DEF-027 向量的坐标
• 用于：ALG-THM-032 坐标变换公式