核与像（值域）

定义陈述

设 $\phi :V\to W$ 是线性映射。

核（kernel）或零空间：

$$\ker \phi =\{v\in V\mid \phi (v)=0\}\subseteq V.$$

像（image）或值域：

$$\mathrm{im}\phi =\{\phi (v)\mid v\in V\}\subseteq W.$$

$\ker \phi$ 是 $V$ 的子空间，$\mathrm{im}\phi$ 是 $W$ 的子空间。

直觉理解

• 核：被变换”压成零”的那些向量。核越大，映射丢失的信息越多。
• 像：变换能”到达”的所有向量。像的维数 = 变换实际使用的维度。

几何：投影到 $xy$-平面的线性变换，核是 $z$-轴，像是 $xy$-平面。

链接

• 前置：ALG-DEF-032 线性变换
• 用于：ALG-THM-037 秩-零化度定理