秩-零化度定理

条件

设 $\phi :V\to W$ 是线性映射，$V$ 是有限维线性空间。

结论

$$\dim V=\dim \ker \phi +\dim \mathrm{im}\phi .$$

其中 $\dim \mathrm{im}\phi =\mathrm{rank}(\phi )$，$\dim \ker \phi$ 称为零化度（nullity）。

直觉理解

变换的”维度守恒”：输入空间的维度 = 被压缩掉的维度（核）+ 保留的维度（像）。核越大，像越小，两者互补。

对比：这与矩阵的”秩-零化度”形式一致——矩阵的列数 = 零化度 + 秩。

证明

取 $\ker \phi$ 的一组基 $u_1,\dots ,u_r$，扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots ,u_r,v_{r+1},\dots ,v_n$。则 $\phi (v_{r+1}),\dots ,\phi (v_n)$ 是 $\mathrm{im}\phi$ 的基。由此 $\dim \mathrm{im}\phi =n-r$。$■$

链接

• 前置：ALG-DEF-034 核与像、ALG-THM-028 基
• 用于：ALG-THM-039 特征向量无关性