线性变换（线性映射）

定义陈述

设 $V,W$ 是域 $F$ 上的线性空间。映射 $\phi :V\to W$ 称为线性映射（linear map），若满足：

1. 加法保持：$\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$；
2. 数乘保持：$\phi (au)=a\phi (u)$。

当 $V=W$ 时，称 $\phi$ 为 $V$ 上的线性变换（linear transformation）。

记 $\mathrm{Hom}(V,W)$ 为 $V$ 到 $W$ 的所有线性映射的集合，它本身构成线性空间。

直觉理解

线性变换 = 保持线性结构的映射。它把直线映成直线（过原点的直线映成过原点的直线），把平行四边形映成平行四边形。

例子

• 旋转、缩放、剪切都是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的线性变换
• 求导是 $C^{\infty }(\mathbb{R})$ 上的线性变换：$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
• 矩阵乘法 $x\mapsto Ax$ 是 ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 的线性映射

链接

• 前置：ALG-DEF-023 线性空间
• 用于：ALG-DEF-033 矩阵表示、ALG-DEF-034 核与像