Jordan 标准形的存在与唯一

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵（或 ${\chi }_A(\lambda )$ 在 $F$ 上可分解为一次因式之积）。

结论

$A$ 相似于唯一的 Jordan 标准形 $J$（不计 Jordan 块排列次序）：

$$J=\mathrm{diag}(J_1,J_2,\dots ,J_k),$$

其中每个 $J_i$ 是 Jordan 块 $J({\lambda }_i)=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & {\lambda }_i& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right)$。

特征值 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 块的个数 = $\dim \ker (A-{\lambda }_{i}I)$（几何重数）， 总大小 = 代数重数。

直觉理解

Jordan 标准形是”最佳近似对角化”——特征向量不够时，用”广义特征向量”（链式）填补。每个 Jordan 块对应一条 eigen-chain。Jordan 标准形唯一确定变换的全部结构信息。

链接

• 前置：ALG-DEF-039 Jordan 标准形、ALG-THM-042 最小多项式