最小多项式及其性质

条件

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $m_{A} (λ)$ 是其最小多项式， $χ_{A} (λ)$ 是特征多项式。

$m_{A} (λ) ∣ χ_{A} (λ)$ （最小多项式整除特征多项式）。

$λ_{0}$ 是 $A$ 的特征值 $⟺ m_{A} (λ_{0}) = 0$ （两者根相同）。

$A$ 可对角化 $⟺ m_{A} (λ)$ 无重根（即所有根互异）。

最小多项式唯一。

最小多项式是特征多项式的”精简版”——它只保留对零化必要的最低次信息。可对角化 ⇔ 最小多项式无重根，这说明每个特征值只要有”一个”特征向量就够了。