数列极限的保号性

条件与结论

设 $\{a_n\}$ 收敛，$a_n\to L$（按 ANL-DEF-004）。则有：

保号性（强形式）：

• 若 $L>0$，则 $\exists N,\forall n>N:a_n>L/2>0$。
• 若 $L<0$，则 $\exists N,\forall n>N:a_n<L/2<0$。

保号性（弱形式 / 反向）：

• 若 $\exists N,\forall n>N:a_n\ge 0$，则 $L\ge 0$（注意只能得到弱不等号 $\ge$，不能得到 $>0$）。
• 若 $\exists N,\forall n>N:a_n\le c$，则 $L\le c$。

直觉理解

如果数列收敛于一个严格正的极限，那么从某项起所有项也”分享”了正号——并且至少有 $L/2$ 这么多。 形象地：数列像稳定到达某层楼的电梯，停下时位于”楼上”（$L>0$），那么足够后期它必定也”在楼上”。

反向方向必须弱化：所有项 $\ge 0$ 不蕴含极限 $>0$。 反例：$a_n=1/n>0$ 但 $\lim a_n=0$。 极限取闭包：项都在 $\ge 0$ 的”闭半轴”上 → 极限也在 $\ge 0$ 的”闭半轴”上，但未必还在严格的”开半轴” $>0$ 上。

证明（强形式，$L>0$）

证明： 在 ANL-DEF-004 中取 $\epsilon =L/2>0$。 存在 $N$ 使 $\forall n>N:|a_n-L|<L/2$，即

$$L-L/2<a_n<L+L/2⟹a_n>L/2>0.$$

$■$

弱形式的证明：反证。设 $a_n\ge 0$ 但 $L<0$，则由强形式 $a_n<L/2<0$ 对充分大 $n$ 成立， 矛盾于 $a_n\ge 0$。故 $L\ge 0$。$■$

常见错误

• ✗ 由 $a_n>0$ 推 $L>0$。错。反例 $a_n=1/n\to 0$。 正确推论是 $L\ge 0$（弱不等号）。
• ✗ 把 "$a_n>b_n$" 错误地推出 "$L>L^{\prime }$"。 正确推论是 $L\ge L^{\prime }$。即取极限保留 $\le ,\ge$，不保留 $<,>$。
• ✗ 在强形式中误把 $\epsilon$ 取为 $L$ 而不是 $L/2$。 取 $\epsilon =L$ 只能得 $a_n>0$，无法得到 $a_n>L/2$ 的均匀下界—— 需要 $L/2$ 这一”留出余量”的技巧。

推论

• 比较定理：若 $\exists N,\forall n>N:a_n\le b_n$，且 $a_n\to L_1,b_n\to L_2$，则 $L_1\le L_2$。
• 用于 ANL-THM-005 夹逼定理的简化证明。
• 在不等式收敛性问题中作为基本工具。

链接

• 前置：ANL-DEF-004
• 相关：ANL-THM-004 极限四则运算（保号性是其特殊情形）、ANL-THM-005 夹逼定理