用 ε-δ 证明 lim_{x→2} x² = 4

题目

利用函数极限的 ε-δ 定义证明 $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$。

分析

目标是把 $|x^2-4|$ 用 $|x-2|$ 控住。

由 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，立刻有

$$|x^2-4|=|x-2|\cdot |x+2|.$$

困难在于因子 $|x+2|$ 不被自身控住——它取决于 $x$。 关键观察：在 $x_0=2$ 附近，$|x+2|$ 是有界的。 若先预先约束 $|x-2|<1$，则 $1<x<3$，从而 $|x+2|<5$。 于是 $|x^2-4|<5|x-2|$。再让 $5|x-2|<\epsilon$ 即 $|x-2|<\epsilon /5$。

合并两层约束：取 $\delta =\min \{1,\epsilon /5\}$。

这是 ε-δ 证明的标准技巧——“先用一个临时半径限制 $x$ 范围以控制噪声因子，再由 ε 决定真正的 δ”。

证明

解： 任给 $\epsilon >0$。取 $\delta =\min \{1,\epsilon /5\}>0$。 对任何满足 $0<|x-2|<\delta$ 的 $x$：

由 $|x-2|<1$，知 $1<x<3$，故 $|x+2|<5$。

因此

$$|x^2-4|=|x-2|\cdot |x+2|<|x-2|\cdot 5\le 5\cdot \frac{\epsilon }{5}=\epsilon .$$

依 ANL-DEF-008，$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$。$■$

关键技巧

• 双层 δ 取 min：第一层（如 $\delta \le 1$）用来控制噪声因子的范围，第二层用来满足 ε 要求。
• 因式分解：$|f(x)-L|$ 出现 $(x-x_0)$ 因式时，剩余因子常常可在邻域内有界化。
• 常数 5 不是唯一选择：取 $\delta \le 1/2$ 也能得 $|x+2|<4.5$，进而 $\delta =\min \{1/2,\epsilon /4.5\}$。技巧无标准答案，只要逻辑闭合。

变式

• 变式 1：证明 $\underset{x\to a}{\lim }{x}^2=a^2$ 对任意 $a\in \mathbb{R}$（提示：$|x+a|\le |x-a|+2|a|$，先约束 $|x-a|<1$，得 $|x+a|<2|a|+1$）。
• 变式 2：证明 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$（提示：$|\sin x|\le |x|$，可直接取 $\delta =\epsilon$）。
• 变式 3：证明 $\underset{x\to 1}{\lim }1/x=1$（提示：先约束 $|x-1|<1/2$ 以保证 $x>1/2$，再控制 $|1-1/x|=|x-1|/|x|$）。