函数极限的 ε-δ 定义

定义陈述

设 $f$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义。称

x \to x_{0} lim f (x) = L,

若

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε .

注意条件 $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ 意味着不要求 $f (x_{0}) = L$ ，甚至不要求 $f$ 在 $x_{0}$ 有定义。

ε-δ 定义可看作”挑战—应战”的双人博弈：

裁判（ε）出招：给出 $y$ 轴方向的目标精度 $ε$ 。
你（δ）应战：在 $x$ 轴方向找一个开区间宽度 $δ$ ，使得该区间内除 $x_{0}$ 外所有 $x$ 对应的 $f (x)$ 全部落入 $y$ 轴 $ε$ -管中。
任意 ε 都赢得了对应的 δ ⇔ 极限存在为 $L$ 。

量词顺序的关键： $δ$ 依赖 $ε$ （一般 ε 越小 δ 越小），但不依赖具体的 $x$ 。

✗ 漏掉条件 $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ ，要求" $∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε$ "。这隐含要求 $f (x_{0}) = L$ ，把”极限存在”误升级为”在 $x_{0}$ 处连续”。
✗ 认为 $δ$ 只能依赖 $ε$ 不能依赖 $x_{0}$ 。事实上 $δ = δ (ε, x_{0})$ 是允许的；要求 $δ$ 仅依赖 $ε$ 是更强的”一致连续”条件 ANL-DEF-024。